レール上の導体棒と斜面：磁場から受ける力のつり合い

$0.50 T$ の水平な磁場の中に、長さ $0.50 m$ 、質量 $10 g$ の導体棒を水平に置きます。 $0.39 A$ を流すと、棒は重力とちょうど釣り合って浮きます^[1]。

同じ棒をなめらかな斜面のレールに載せ、磁場を鉛直向きに変えると、必要な電流は角度で決まります。

力の式は 1 本だけです。あとは、その力をどの向きの成分に分けるかという話になります。

力の大きさと向き

磁場 $B$ の中で、長さ $L$ の導体に電流 $I$ が流れているときの力は次の形です^[1]。

$F = I B L sin θ$

$θ$ は電流の向きと磁場の向きがなす角。直角なら $sin θ = 1$ で最大、平行なら $0$ になります。

向きは電流にも磁場にも垂直です。左手の 3 本指でも、右手をひねる形でも決められます^[2]。

電流と磁場の角度から力の大きさを出す

力の向きを、電流と磁場の両方に垂直な向きに決める

その向きを、つり合いを立てたい軸の成分に分ける

例：重力とつり合わせる

水平な磁場の中に、磁場と直角に導体棒を置きます。力は鉛直向きになります。

質量 $10 g$ の棒に働く重力は $0.098 N$ 。これと等しくなる電流を出します。

$I = \frac{m g}{B L} = \frac{0.098}{0.50 \times 0.50} = 0.39 A$

$1 A$ にも届きません。磁場が $T$ の桁あれば、電流はわずかで足ります。

磁場を $10$ 分の 1 の $0.050 T$ にすると、必要な電流は $10$ 倍の $3.9 A$ 。積 $B I L$ が同じ値になるように動きます。

例：水平レールと摩擦

水平な 2 本のレールに導体棒を載せます。レールの間隔は $0.25 m$ 、棒の質量は $0.10 kg$ 。

磁場は鉛直上向きに $0.50 T$ 。電流が水平に流れるので、力は水平になります。

静止摩擦係数を $0.30$ とすると、最大の静止摩擦力は次のとおり。

$f = μ m g = 0.30 \times 0.10 \times 9.8 = 0.29 N$

これを超えたときに棒が動き出します。

$I = \frac{f}{B L} = \frac{0.29}{0.50 \times 0.25} = 2.4 A$

垂直抗力は磁場の力に影響されません。力が水平なので、押しつける成分がないためです。

例：斜面のレール

$3 0^{\circ}$ に傾いたなめらかなレールに、質量 $0.050 kg$ の棒を載せます。レールの間隔は $0.20 m$ 。

磁場を鉛直上向きに $0.50 T$ かけます。電流は水平なので、力は水平向きに $B I L$ 。

斜面に沿った向きで釣り合いを立てます。重力の斜面成分は $m g sin 3 0^{\circ}$ 、磁場の力の斜面成分は $B I L cos 3 0^{\circ}$ 。

$B I L cos 3 0^{\circ} = m g sin 3 0^{\circ} ⟹ I = \frac{m g tan 3 0 ^{\circ}}{B L}$

$I = \frac{0.050 \times 9.8 \times 0.577}{0.50 \times 0.20} = 2.8 A$

$tan$ が出てくる形になりました。糸で吊るした物体のつり合いと同じ形です。

磁場の向きで式が変わる

同じ斜面でも、磁場を斜面に垂直にかけると話が変わります。

そのときの力は斜面に沿った向きになるので、成分に分ける必要がありません。

$B I L = m g sin 3 0^{\circ} ⟹ I = \frac{m g sin 3 0 ^{\circ}}{B L} = 2.5 A$

磁場が鉛直

力は水平。斜面方向の成分は $cos θ$ 倍になり、 $tan θ$ の式が出る

磁場が斜面に垂直

力は斜面に沿う。分解が要らず、 $sin θ$ の式で済む

$3 0^{\circ}$ では $2.8 A$ と $2.5 A$ で近い値です。 $6 0^{\circ}$ にすると $8.5 A$ と $4.2 A$ で、倍ほど開きます。

磁場の向きを読み違えると、 $tan$ と $sin$ をとり違えることになります。

角度が小さいうちは差が出ないので気づきにくい。 $4 5^{\circ}$ を超えたあたりから答えが大きくずれる。

例：磁場が斜めにかかる場合

電流と磁場が直角でないときは、 $sin θ$ が効いてきます^[1]。

$0.50 T$ の磁場が、電流に対して $3 0^{\circ}$ の角度でかかっている場合を考えます。

$F = I B L sin 3 0^{\circ} = 0.5 \times I B L$

力が半分になるので、同じ効果を出すには電流を 2 倍にします。磁場と電流が平行になると力は $0$ です。

検算のしかた

力の向きを、電流と磁場の両方に垂直にとれているかを見ます。どちらかと平行になっていたら、当て方が違います。

$sin θ$ の $θ$ が、電流と磁場のなす角かどうかも確かめます。斜面の傾きと混ざりやすい場所です。

単位でも確かめられる。 $T \times A \times m$ が $N$ になるはずです。

sin θ

の

θ

に斜面の傾きを入れる。電流と磁場のなす角です。

磁場が鉛直のときに、力を斜面方向とみなす。水平です。

摩擦のある水平レールで、磁場の力が垂直抗力を変えると考える。

斜面で

tan

を使う場面と

sin

を使う場面を混ぜる。

電流と磁場が平行なときにも

F = B I L

とする。

0

です。

$0.40 T$ の水平な磁場の中に、長さ $0.25 m$ 、質量 $20 g$ の導体棒を磁場と直角に置きます。浮かせるのに要る電流はどれですか。

$2.0 A$
$0.50 A$
$4.9 A$

__RESULT__

$m g = 0.020 \times 9.8 = 0.196 N$ で、 $I = \frac{m g}{B L} = \frac{0.196}{0.40 \times 0.25} = 2.0 A$ です。 $4.9 A$ は質量を $g$ のまま扱った場合、 $0.50 A$ は $B L$ を掛け違えた場合の値になります。

力の式は 1 本、あとは分解する軸を選ぶだけ。配置が変わっても、この 2 段の手順は同じです。

参考

Magnetic Force on a Current-Carrying Conductor. University Physics Volume 2, OpenStax.

Étienne Thibierge. *Champ magnétique, théorème d'Ampère*. Cours 17, PT, Lycée Blaise Pascal.

*Versuch E9: Biot-Savart-Gesetz und Ampèresches Gesetz*. Physikalisches Grundpraktikum, Universität Greifswald.

$0.50\ \mathrm{T}$ の水平な磁場に長さ $0.50\ \mathrm{m}$、質量 $10\ \mathrm{g}$ の導体棒を置くと、$0.39\ \mathrm{A}$ で浮きます。使う式は $F = IBL\sin\theta$ の 1 本だけで、あとはどの軸の成分に分けるかという話。水平レールに摩擦があれば $\mu mg$ を超えた電流で動き出し、$30^\circ$ の斜面では磁場の向きしだいで $\tan$ と $\sin$ が分かれます。鉛直磁場なら $2.8\ \mathrm{A}$、斜面に垂直な磁場なら $2.5\ \mathrm{A}$。角度が小さいうちは差が出ないので気づきにくく、$60^\circ$ では倍近くまで開くことも見ます。