ホイートストンブリッジと平衡条件（未知の抵抗を測る）

$20 Ω$ 、 $30 Ω$ 、 $40 Ω$ の 3 つと、値の分からない抵抗を輪につなぎます。対角の 2 点を橋で結び、そこに電流が流れなくなったとき、未知の抵抗は $60 Ω$ です。

対辺どうしを掛けた値が等しくなる。 $20 \times 60 = 30 \times 40$ が成り立っています。

電源の電圧を測る必要はありません。既知の抵抗 3 つと、電流が $0$ かどうかの判定だけで値が決まります。

橋に電流が流れない状態

4 つの抵抗が輪をつくり、片方の対角に電源、もう片方の対角に検流計をつなぐ形をホイートストンブリッジといいます^[1]。

検流計を流れる電流が $0$ になるのは、その両端の電位が等しいときです。電位差がなければ、電流を押し出すものがありません。

このとき輪は、2 本の独立した分圧回路として振る舞います。左の枝と右の枝が、電源電圧をそれぞれ内部で分け合う。

橋に電流が流れない状態をつくる

左右の枝が電源電圧を同じ比で分けていると読む

比の等式から未知の抵抗を出す

平衡条件

上側を $R_{1}$ と $R_{3}$ 、下側を $R_{2}$ と $R_{4}$ とします。橋は 2 つの中点を結ぶ。

左の枝の中点の電位は $\frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} E$ 、右の枝の中点は $\frac{R _{4}}{R _{3} + R _{4}} E$ です。

等しいと置いて整理すると、電源電圧 $E$ が消えます。

$\frac{R _{1}}{R _{2}} = \frac{R _{3}}{R _{4}} ⟺ R_{1} R_{4} = R_{2} R_{3}$

対辺の積が等しい、という形になりました^[2]。電源の値も検流計の内部抵抗も、この式には出てきません。

例：3 つから 4 つ目を出す

$R_{1} = 20 Ω$ 、 $R_{2} = 30 Ω$ 、 $R_{3} = 40 Ω$ とします。

$R_{4} = \frac{R _{2} R _{3}}{R _{1}} = \frac{30 \times 40}{20} = 60 Ω$

確かめます。左の枝の電流は $\frac{12}{50} = 0.24 A$ で、中点の電位は $0.24 \times 30 = 7.2 V$ 。

右の枝は $\frac{12}{100} = 0.12 A$ で、中点は $0.12 \times 60 = 7.2 V$ 。そろいました。

メートルブリッジ

抵抗の代わりに、太さの一様な 1 本の細い線を使う方式もあります。線の上を滑る接点で、 $R_{1}$ と $R_{2}$ の役目を分けます。

抵抗は長さに比例するので、比がそのまま長さの比になる。

$\frac{R _{x}}{R _{s}} = \frac{L _{1}}{L _{2}}$

抵抗値を測らずに、ものさしで読んだ長さだけで比が出せます。

例：40 cm で平衡した

全長 $100 cm$ の線で、既知の抵抗が $30 Ω$ 。接点が左から $40 cm$ の位置で検流計が振れなくなりました。

$R_{x} = 30 \times \frac{40}{60} = 20 Ω$

長さを測るだけで抵抗が出ました。ものさしの精度がそのまま測定の精度になります。

平衡していないときは

橋に電流が流れる状態では、キルヒホッフの法則で解くしかありません^[2]。

ただし検流計の内部抵抗が非常に大きい場合は、橋を切って考えてよくなります。電流が流れない枝の扱いと同じです。

$R_{4}$ を $50 Ω$ にしてみます。左の中点は $7.2 V$ のまま、右の中点は次のとおり。

$V = \frac{50}{40 + 50} \times 12 = 6.67 V$

差は $0.53 V$ 。この向きから、どちらへ調整すればよいかも読めます。

平衡から外れているとき、検流計の振れる向きが調整の手がかりになります。

右の中点が低ければ $R_{4}$ を増やす。針の向きを見れば、次に動かす方向が決まる。

電源の値が要らない理由

平衡条件の式から $E$ が消えている点が、この測定法の強みです^[3]。

電池が古くなって電圧が下がっても、平衡する位置は変わりません。電源を安定させる手間が要らない。

検流計も、目盛りの精度は要りません。 $0$ かどうかだけを見る使い方なので、感度だけあれば足ります。

電圧計と電流計で測る

オームの法則から $R = V / I$ を出す。2 つの計器の目盛りの精度が両方効く

ブリッジで測る

既知の抵抗との比で出す。検流計は $0$ の判定にしか使わない

例：温度を測る

金属の抵抗は温度で変わります^[4]。

$R (T) = R_{0} (1 + α (T - T_{0}))$

銅なら $α = 0.0039 K^{- 1}$ ほど。 $20^{\circ} C$ で $100 Ω$ の銅線をブリッジにかけたら $115.6 Ω$ と出たとします。

$T - T_{0} = \frac{1.156 - 1}{0.0039} = 40 K$

$60^{\circ} C$ でした。白金を使った抵抗温度計は、この仕組みで温度を精密に測ります。

材料	抵抗率	温度係数
銀	$1.59 \times 1 0^{- 8} Ω \cdot m$	$0.0038 K^{- 1}$
銅	$1.68 \times 1 0^{- 8} Ω \cdot m$	$0.0039 K^{- 1}$
アルミニウム	$2.65 \times 1 0^{- 8} Ω \cdot m$	$0.0039 K^{- 1}$

検算のしかた

対辺の積を計算して、両方が一致するかを見ます。 $20 \times 60$ と $30 \times 40$ で、どちらも $1200$ 。

比の向きも確かめます。 $R_{1}$ が小さいほうの枝にあるなら、同じ側の $R_{3}$ も小さいはず。大小の関係が逆になっていたら、対辺のとり方を間違えています。

桁の見当も立ちます。未知の抵抗は、既知の 3 つと同じ程度の桁に収まるはず。極端に離れた値が出たら式の形が違う。

隣り合う抵抗どうしを掛けてしまう。掛けるのは対辺です。

メートルブリッジで、長さの比を逆にする。

平衡していない状態で、平衡条件の式を当てる。

検流計の内部抵抗が答えに効くと考える。平衡していれば効きません。

電源の電圧を測らないと解けないと考える。

ホイートストンブリッジで、 $R_{1} = 10 Ω$ 、 $R_{2} = 40 Ω$ 、 $R_{3} = 25 Ω$ のとき、平衡する $R_{4}$ はどれですか。

$100 Ω$
$6.25 Ω$
$16 Ω$

__RESULT__

$R_{1} R_{4} = R_{2} R_{3}$ から $R_{4} = \frac{40 \times 25}{10} = 100 Ω$ です。 $6.25 Ω$ は対辺を逆にとった値、 $16 Ω$ は隣どうしを掛けた場合の値になります。

橋の電流を $0$ にして、対辺の積を等しいと置く。この 1 行で、電源も検流計も式から消えます。

参考

Null Measurements. College Physics 2e, OpenStax.

*Die Wheatstone-Brückenschaltung (E9)*. Physikalisches Praktikum, Universität Bremen.

Richard Fitzpatrick. *Emf and Internal Resistance*. Electromagnetism and Optics, The University of Texas at Austin.

Resistivity and Resistance. University Physics Volume 2, OpenStax.

$20\ \Omega$、$30\ \Omega$、$40\ \Omega$ と未知の抵抗を輪にして対角に電源と検流計をつなぐと、$60\ \Omega$ で橋の電流が $0$ になります。対辺の積が等しい、という条件です。導く途中で電源の電圧が消えるので、電池が弱っていても平衡する位置は動かない。検流計も $0$ かどうかの判定にしか使いません。滑り線を使うメートルブリッジなら長さの比で読めて、$40\ \mathrm{cm}$ で平衡したなら $30 \times \frac{40}{60} = 20\ \Omega$。平衡していないときの電位差の出し方と、抵抗温度計への応用まで扱います。