直流回路のコンデンサーは定常状態で断線と同じになる

$12\mathrm{V}$ の電池に $2\Omega$ と $4\Omega$ を直列につなぎ、$4\Omega$ と並列に $10\mu \mathrm{F}$ を置きます。じゅうぶん時間がたつと、電荷は $80\mu \mathrm{C}$ になります。

コンデンサーの枝に $6\Omega$ の抵抗を足しても、答えは $80\mu \mathrm{C}$ のまま。その抵抗には電流が流れないので、電圧降下も起きません。

定常状態では、コンデンサーの枝は切れているのと同じ扱いになります。

電流が流れなくなる理由

コンデンサーの極板のあいだは絶縁されています。電荷が溜まりきると、それ以上は移動できません^[1]。

充電の途中は電流が流れますが、時間とともに指数関数で減っていく。じゅうぶん時間がたてば $0$ とみなせます。

電流が $0$ なら、同じ枝にある抵抗の電圧降下も $0$。$V=IR$ で $I=0$ だからです。

例：抵抗に並列につなぐ

$2\Omega$ と $4\Omega$ の直列に $12\mathrm{V}$ を掛けます。コンデンサーの枝を切ると、ただの直列回路です。

$$I=\frac{12}{2+4}=2\mathrm{A}$$

$4\Omega$ の両端の電位差を出します。

$$V=2\times 4=8\mathrm{V}$$

コンデンサーはこの 2 点につながっているので、同じ $8\mathrm{V}$ が掛かります。

$$Q=10\times 10^{-6}\times 8=80\mu \mathrm{C}$$

枝の抵抗は答えに出てこない

コンデンサーと直列に $6\Omega$ を入れてみます。定常状態で電流は $0$ なので、この抵抗の電圧降下も $0$。

コンデンサーの電圧は $8\mathrm{V}$ のままです。電荷も $80\mu \mathrm{C}$ で変わりません。

変わるのは、そこへ到達するまでの時間だけ。抵抗が大きいほど充電に時間が掛かります^[1]。

例：スイッチを入れた瞬間

もう一方の極端も押さえておきます。充電前のコンデンサーは電圧が $0$ です^[1]。

電圧が $0$ の素子は、導線と同じ振る舞いをする。つまり短絡した扱いになります。

さきほどの回路なら、$4\Omega$ がコンデンサーで短絡されます。

$$I_0=\frac{12}{2}=6\mathrm{A}$$

定常状態の $2\mathrm{A}$ の 3 倍です。時間とともに $2\mathrm{A}$ へ落ちていきます。

例：コンデンサーが 2 つある回路

$2\Omega$ に $10\mu \mathrm{F}$、$4\Omega$ に $20\mu \mathrm{F}$ を、それぞれ並列でつなぎます。

定常状態では両方の枝が切れているので、電流はさきほどと同じ $2\mathrm{A}$。

各抵抗の電圧を出します。$2\Omega$ には $4\mathrm{V}$、$4\Omega$ には $8\mathrm{V}$。

$$Q_1=10\times 10^{-6}\times 4=40\mu \mathrm{C},Q_2=20\times 10^{-6}\times 8=160\mu \mathrm{C}$$

コンデンサーどうしは直列につながっているように見えますが、あいだに電池と抵抗が入っているので電荷が共通にはなりません。電位差から別々に出します。

充電すると半分は熱になる

$12\mathrm{V}$ の電池で $10\mu \mathrm{F}$ を、抵抗を通して充電します。最終的な電荷は $120\mu \mathrm{C}$。

電池がした仕事は、運んだ電荷に電圧を掛けた値です。電池の電圧は最後まで $12\mathrm{V}$ のまま。

$$W=QV=1.2\times 10^{-4}\times 12=1.44\mathrm{mJ}$$

コンデンサーに蓄えられるのはその半分です^[2]。

$$U=\frac{1}{2}QV=0.72\mathrm{mJ}$$

残りの $0.72\mathrm{mJ}$ は抵抗で熱になります。抵抗の値を変えても、この割合は動きません。

検算のしかた

コンデンサーの枝を切った回路で、キルヒホッフの関係が成り立っているかを見ます。切ったあとはただの抵抗回路なので、確かめは早い。

電位差の向きも確かめます。コンデンサーの電圧は、つながっている 2 点の電位の差。どちらが高いかで極板の符号が決まります。

極端な場合に戻すのも有効です。容量を $0$ に近づければ電荷も $0$ に近づき、大きくすれば比例して増えるはず。

枝を切って回路を解き、出た電位差を掛け直す。この 2 段に分ければ、コンデンサーが何個あっても手順は同じです。

参考