LC 回路の共振周波数と電磁波の波長

$1.0\mu \mathrm{H}$ のコイルと $100\mathrm{pF}$ のコンデンサーをつなぐと、$15.9\mathrm{MHz}$ で振動します。そこから出る電磁波の波長は $19\mathrm{m}$ です。

回路の部品の値から、空間を飛ぶ波の長さが決まる。つないでいるのは光速だけです。

$$c=f\lambda$$

光速は 2 つの定数から出る

電磁波の速さは、真空の誘電率と透磁率だけで決まります^[1]。

$$c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}$$

数値を入れてみます。${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}$、${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}$。

$$c=\frac{1}{\sqrt{8.85\times 10^{-12}\times 4\pi \times 10^{-7}}}=3.00\times 10^{8}m/s$$

静電気の実験から出た ${\epsilon }_0$ と、電流の実験から出た ${\mu }_0$。この 2 つを組み合わせると光の速さが現れます。

波長と振動数

どんな波でも、速さは振動数と波長の積です^[1]。

$$c=f\lambda ⟹\lambda =\frac{c}{f}$$

真空中では $c$ が固定なので、振動数が決まれば波長も決まります。反比例の関係です。

共振周波数

コイルとコンデンサーをつないだ回路は、決まった振動数で振動します^[2]。

$$\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}},f=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$

コンデンサーに蓄えた電気のエネルギーが、コイルの磁場のエネルギーへ移り、また戻る。振り子と同じ往復です^[2]。

例：1 μH と 100 pF

数値を入れます。$L=1.0\times 10^{-6}\mathrm{H}$、$C=1.0\times 10^{-10}\mathrm{F}$。

$$\sqrt{LC}=\sqrt{1.0\times 10^{-16}}=1.0\times 10^{-8}$$

$$f=\frac{1}{2\pi \times 1.0\times 10^{-8}}=1.59\times 10^7\mathrm{Hz}$$

$15.9\mathrm{MHz}$ でした。波長を出します。

$$\lambda =\frac{3.00\times 10^8}{1.59\times 10^7}=18.8\mathrm{m}$$

$19\mathrm{m}$ ほど。短波の放送に使われる帯域です。

電場と磁場の比

電磁波の中では、電場と磁場の強さが決まった比で結ばれています^[1]。

$$\frac{E}{B}=c$$

電場が $1000V/m$ なら、磁場は $\frac{1000}{3.00\times 10^8}=3.33\times 10^{-6}\mathrm{T}$。

数値の上では磁場がずっと小さく見えますが、単位が違うので大小を比べる意味はありません。エネルギーで見ると、電場と磁場がちょうど半分ずつを担います。

例：エネルギーの行き来

回路の中では、エネルギーが 2 か所を往復しています^[2]。

$$\frac{q_0^2}{2C}=\frac{L{I}_0^2}{2}$$

左辺がコンデンサーに全部たまった瞬間、右辺がコイルに全部移った瞬間。どちらも同じ値です。

$C=100\mathrm{pF}$ を $10\mathrm{V}$ まで充電してから放すと、たまっている電気量は $1.0\times 10^{-9}\mathrm{C}$。

$$U=\frac{(1.0\times 10^{-9}{)}^2}{2\times 1.0\times 10^{-10}}=5.0\times 10^{-9}\mathrm{J}$$

これがすべてコイルへ移ったときの電流を出します。

$$I_0=\sqrt{\frac{2U}{L}}=\sqrt{\frac{1.0\times 10^{-8}}{1.0\times 10^{-6}}}=0.10\mathrm{A}$$

$1\mathrm{s}$ に $1.59\times 10^7$ 回、この往復をくり返しています。

媒質に入ると遅くなる

$c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}$ は真空の場合の式です。物質の中では、誘電率と透磁率が真空の値より大きくなります^[1]。

$$v=\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu }}=\frac{c}{\sqrt{{\epsilon }_{\mathrm{r}}{\mu }_{\mathrm{r}}}}$$

比誘電率が $4$ で比透磁率が $1$ の物質なら、速さは半分。振動数は変わらないので、波長も半分になります。

振動数が変わらない点が要になります。波を作った側の振動が源なので、通る場所で変わることはありません。変わるのは速さと波長のほうです。

波長で並べる

同じ式で、あらゆる電磁波を扱えます。

振動数が $10^7$ 倍になれば、波長は $10^7$ 分の 1。電波も光も同じ $c=f\lambda$ で結ばれています。

アンテナの長さ

出したい波長が決まれば、アンテナの寸法も決まります。目安は波長の $\frac{1}{4}$ か $\frac{1}{2}$ です。

$18.8\mathrm{m}$ の波なら、$\frac{1}{4}$ で $4.7\mathrm{m}$。かなりの長さになります。

周波数を上げれば短くて済む。携帯電話のアンテナが小さいのは、$10^9\mathrm{Hz}$ の桁を使っているためです。波長が $0.3\mathrm{m}$ ほどしかありません。

検算のしかた

$c=f\lambda$ に戻して、$3.0\times 10^8$ になるかを見ます。ならなければどちらかの桁が違う。

共振周波数の式では、$\sqrt{LC}$ の中の単位をそろえます。$\mathrm{H}$ と $\mathrm{F}$ を掛けると ${\mathrm{s}}^2$ になり、平方根で $\mathrm{s}$ です。

$2\pi$ の有無も確かめます。$\omega$ には付かず、$f$ には $\frac{1}{2\pi }$ が付きます。

回路の値から周波数、周波数から波長。あいだをつないでいるのは光速という 1 つの数だけです。

参考