加速電圧と電子ボルト｜1 ボルトで電子は秒速 590 km になる

$1\mathrm{V}$ で加速しただけの電子が、秒速 $590\mathrm{km}$ で飛びます。$100\mathrm{V}$ なら $5.9\times 10^{6}m/s$^[1]。

電圧を $100$ 倍にしても、速さは $10$ 倍にしかなりません。エネルギーが速さの 2 乗に効くためです。

この関係を電子ボルトという単位で書くと、換算がほとんど要らなくなります。

電圧はエネルギーの受け渡し

電位差 $V$ のあいだを電荷 $q$ が動くと、$qV$ だけのエネルギーをやりとりします^[1]。

静止から始めて、途中で何も失わないなら、それがそのまま運動エネルギーになる。

$$qV=\frac{1}{2}m{v}^2⟹v=\sqrt{\frac{2qV}{m}}$$

経路の形は関係ありません。まっすぐ加速しても曲がりくねっても、両端の電位差だけで決まります。

電子ボルトという単位

電気素量 $e$ の粒子が $1\mathrm{V}$ の電位差を通ると、$e\times 1\mathrm{V}$ のエネルギーを得ます。この値を 1 電子ボルトと呼びます。

$$1\mathrm{eV}=1.602176634\times 10^{-19}\mathrm{J}$$

$2019$ 年の単位の改定で電気素量が定義値になったので、この換算はぴったりの値です^[2]。測定で決まる量ではなくなりました。

便利なのは、加速電圧の数値をそのままエネルギーとして読める点。$2000\mathrm{V}$ で加速した電子は $2000\mathrm{eV}$ を持ちます。

例：100 V で加速する

数値を入れます。$q=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$、$m=9.11\times 10^{-31}\mathrm{kg}$ です。

$$v=\sqrt{\frac{2\times 1.60\times 10^{-19}\times 100}{9.11\times 10^{-31}}}=5.93\times 10^{6}m/s$$

音速の 1 万 7 千倍ほど。ブラウン管でも電子顕微鏡でも、この程度の電圧から話が始まります。

エネルギーのほうは $100\mathrm{eV}$、つまり $1.6\times 10^{-17}\mathrm{J}$ です。

例：電圧を 4 倍にする

$v\propto \sqrt{V}$ なので、$4$ 倍の電圧は $2$ 倍の速さです。

$1000\mathrm{V}$ で $1.9\times 10^{7}m/s$、$4000\mathrm{V}$ で $3.7\times 10^{7}m/s$。倍率だけを見れば計算は要りません。

逆に、速さを $10$ 倍にしたいなら電圧は $100$ 倍。装置の設計では、この効率の悪さがそのまま壁になります。

粒子を変えるとどうなるか

同じ $2000\mathrm{V}$ で加速したときの速さを並べます。

電子と陽子の速さの比は $\sqrt{1836}=42.8$ 倍。エネルギーはどちらも $2000\mathrm{eV}$ で同じなのに、速さは 40 倍以上ちがいます。

アルファ粒子は電荷が $2$ 倍あるので、$2000\mathrm{V}$ で $4000\mathrm{eV}$ を得ます。それでも質量が $4$ 倍あるため、陽子より遅くなる。

熱運動と比べる

室温の粒子が持つエネルギーは $0.039\mathrm{eV}$ ほどです。

加速電圧をわずか $1\mathrm{V}$ 掛けるだけで、その $25$ 倍を超える。電子銃で $1000\mathrm{V}$ を使えば、熱運動は完全に無視できます。

はじめの速さを $0$ とみなしてよいのは、この差があるからです。フィラメントから出たときの速さは、加速後の速さの 1\ \mathrm{%} にも届きません。

相対論はいつ効くか

電子の静止エネルギーは $0.511\mathrm{MeV}$、つまり $511000\mathrm{eV}$ です^[3]。

加速で与えるエネルギーがこれに近づくと、古典的な式が合わなくなります。目安は静止エネルギーとの比。

高校で扱う数千ボルトの範囲なら、$\frac{1}{2}m{v}^2$ のままで問題ありません。医療用の X 線管が使う $10$ 万ボルトの領域になると、話が変わります。

速さを並べて見る

加速電圧を変えたときの電子の速さを、$10^{6}m/s$ を単位にして並べます。

棒の高さが電圧に比例していません。$4000\mathrm{V}$ は $100\mathrm{V}$ の $40$ 倍ですが、速さは $6.4$ 倍。平方根が効いています。

例：光速の 1 割にする電圧

$v=3.0\times 10^{7}m/s$ を出すのに必要な電圧を、逆に解きます。

$$V=\frac{m{v}^2}{2e}=\frac{9.11\times 10^{-31}\times (3.0\times 10^7{)}^2}{2\times 1.60\times 10^{-19}}=2.6\times 10^3\mathrm{V}$$

わずか $2600\mathrm{V}$ です。家庭のコンセントの $20$ 倍ほどの電圧で、電子は光速の 1 割まで届きます。

軽さがそのまま効いている。同じ速さを陽子で出すには、$1836$ 倍の電圧が要ります。

例：向きが逆なら減速する

電位差の向きを逆にすると、同じ式が減速の式になります。

$100\mathrm{eV}$ の電子が $100\mathrm{V}$ の坂を登れば、ちょうど速さが $0$ になる。それ以上の電圧なら、途中で引き返します。

$$e{V}_{\mathrm{s}}=\frac{1}{2}m{v}^2$$

この $V_{\mathrm{s}}$ を阻止電圧といいます。電子の運動エネルギーを電圧の値で読む方法になっている。

飛んでくる電子のエネルギーを測りたいとき、電圧を上げながら電流が $0$ になる点を探せば、そこが答えです。

例：加速してから減速する

$500\mathrm{V}$ で加速し、そのあと $200\mathrm{V}$ 分の逆向きの電位差を通る場合を考えます。

正味の電位差は $300\mathrm{V}$ なので、最終的なエネルギーは $300\mathrm{eV}$。途中の経路や順番は答えに影響しません。

$$v=\sqrt{\frac{2\times 1.60\times 10^{-19}\times 300}{9.11\times 10^{-31}}}=1.0\times 10^{7}m/s$$

静電気力が保存力なので、通った道ではなく両端の電位差だけで決まります。途中で何度上り下りしても同じ^[1]。

換算は最後の 1 回に回す

計算を楽にするコツは、$\mathrm{J}$ への換算をできるだけ遅らせることです。

エネルギーの足し引きは、すべて $\mathrm{eV}$ のまま進める。速さが要る段になって初めて $1.60\times 10^{-19}$ を掛けます。

$300\mathrm{eV}$ から $120\mathrm{eV}$ を引くとき、指数を扱う必要はありません。$180\mathrm{eV}$ とそのまま書けます。

エネルギーを桁で並べる

電子ボルトの便利さは、けたの離れた話を 1 本の軸に載せられる点にあります。

いちばん下の $0.039\mathrm{eV}$ と、いちばん上の $511000\mathrm{eV}$ のあいだは $7$ けた。$\mathrm{J}$ で書くと $10^{-21}$ から $10^{-14}$ まで並ぶので、指数を追うだけで疲れます。

例：はじめから動いている場合

静止から始まらない場合は、運動エネルギーの差で書きます。

$$\frac{1}{2}m{v}_2^2-\frac{1}{2}m{v}_1^2=qV$$

初速 $2.0\times 10^{6}m/s$ の電子を $100\mathrm{V}$ で加速してみます。初速のぶんのエネルギーは $11\mathrm{eV}$ ほど。

$$\frac{1}{2}\times 9.11\times 10^{-31}\times (2.0\times 10^6{)}^2=1.8\times 10^{-18}\mathrm{J}=11\mathrm{eV}$$

合計は $111\mathrm{eV}$ になります。速さに直すと $6.3\times 10^{6}m/s$ で、静止から始めた場合の $5.9\times 10^{6}m/s$ より 6\ \mathrm{%} 大きい。

要点はエネルギーで足すことです。速さのまま足すと $2.0+5.9=7.9$ となって、まったく合いません。

検算のしかた

出した速さを光速と比べます。$3.0\times 10^{8}m/s$ を超えていたら、どこかで単位を落としています。

エネルギーの側からも確かめられる。加速電圧の数値がそのまま電子ボルトの値になるので、$\frac{1}{2}m{v}^2$ を $1.6\times 10^{-19}$ で割って、元の電圧に戻るかを見ます。

$\mathrm{keV}$ や $\mathrm{MeV}$ の接頭語も見落としやすい。$1\mathrm{MeV}$ は $10^6\mathrm{eV}$ で、$1$ 万倍の差が $\mathrm{keV}$ とのあいだにあります。

電圧の数値をエネルギーとして読み、速さが要るときだけ平方根に落とす。この順で進めると、単位の換算が最後の 1 回で済みます。

参考