質量分析器は磁場の中の半径の差で同位体を分ける

速さをそろえたネオンのイオンを $0.50\mathrm{T}$ の磁場へ送ります。質量数 $20$ の原子は半径 $4.15\mathrm{cm}$、質量数 $22$ の原子は $4.57\mathrm{cm}$ の円を描きます。

差は $4.2\mathrm{mm}$。この隔たりが、化学的にまったく同じ 2 つの原子を分けます。

半径が質量に比例するので、質量の $1$ 割の違いが半径の $1$ 割の違いになって現れる。それだけの仕組みです。

速さをそろえてから磁場へ

磁場の中の円運動の半径は、質量と速さの積を電荷と磁場で割った値です^[1]。

$$r=\frac{mv}{q{B}_0}$$

質量が知りたいのに、速さも入っています。イオン源から出る粒子は速さがばらばらなので、このままでは半径から質量を読めません。

そこで手前に速度選別器を置きます。電場と磁場を直交させ、$v=\frac{E}{B}$ の粒子だけを通す装置です^[2]。

半径は質量に比例する

速さと電荷と磁場をそろえてしまえば、半径を決めるのは質量だけになります。

$$r\propto m$$

質量数 $20$ と $22$ の原子なら、半径の比も $20:22$。10\ \mathrm{%} の違いがそのまま出ます。

質量そのものを出すときは、式を逆に解きます。

$$m=\frac{q{B}_{0}r}{v}$$

例：ネオンの同位体

原子質量定数は $1.66\times 10^{-27}\mathrm{kg}$^[3]。質量数 $20$ の原子の質量はその $20$ 倍です。

$$m=20\times 1.66\times 10^{-27}=3.32\times 10^{-26}\mathrm{kg}$$

$1$ 価のイオンとし、$v=1.0\times 10^{5}m/s$、$B_0=0.50\mathrm{T}$ で計算します。

$$r=\frac{3.32\times 10^{-26}\times 1.0\times 10^5}{1.6\times 10^{-19}\times 0.50}=4.15\times 10^{-2}\mathrm{m}$$

質量数 $22$ なら、比例なので $4.15\times \frac{22}{20}=4.57\mathrm{cm}$。

着地点は 2r 離れる

境界から垂直に入った粒子は半円を描き、入口から $2r$ 離れた点へ戻ります。

検出器はその位置に置きます。半径の差が $4.2\mathrm{mm}$ なら、着地点の差はその倍の $8.4\mathrm{mm}$。

測る量が倍になるぶん、分けやすくなる。半円を使う配置が選ばれるのは、この効きめのためです。

例：質量を求める

着地点までの距離が $9.14\mathrm{cm}$ と測れたとします。半径は $4.57\mathrm{cm}$。

$$m=\frac{q{B}_{0}r}{v}=\frac{1.6\times 10^{-19}\times 0.50\times 4.57\times 10^{-2}}{1.0\times 10^5}=3.66\times 10^{-26}\mathrm{kg}$$

原子質量定数で割ると $22.0$。質量数 $22$ のネオンでした。

速度選別器の $E$ と $B$ も式に入れると、測定に使うのは 3 つの磁場と電場と長さだけになります^[2]。

$$\frac{q}{m}=\frac{E}{B{B}_{0}r}$$

電荷が 2 価なら半径は半分

同じ質量でも、電荷が $2e$ のイオンは半径が半分になります。分母に $q$ があるためです。

質量数 $40$ の $2$ 価イオンは、質量数 $20$ の $1$ 価イオンと同じ半径を描く。装置が見分けているのは質量そのものではなく、$\frac{m}{q}$ の比です。

質量数 $40$ の $2$ 価と質量数 $20$ の $1$ 価は、この装置では重なります。切り分けるには、別の条件を加えるしかありません。

例：磁場を走査する

実際の装置では、検出器の位置を固定します。動かすのは磁場のほうです。

半径 $r$ を固定した式を見ます。

$$m=\frac{q{B}_{0}r}{v}$$

$B_0$ に比例するので、磁場を少しずつ強めていけば、検出器に届く質量が順に大きくなっていく。

$0.50\mathrm{T}$ で質量数 $20$ が届いたなら、$0.55\mathrm{T}$ では $22$ が届きます。磁場を掃きながら信号を記録すれば、質量ごとの量が並んだグラフになります。

これが質量スペクトルです。横軸の目盛りは、そのまま磁場の目盛りから作れます。

例：空気の成分を並べる

同じ条件で、いろいろな質量数の半径を計算してみます。

窒素分子と酸素分子は $5.81\mathrm{cm}$ と $6.64\mathrm{cm}$。着地点では $1.7\mathrm{cm}$ 開くので、余裕をもって分かれます。

質量数が $4$ しか違わないアルゴンと酸素でも、$40$ と $32$ で 25\ \mathrm{%} の差。重い側ほど半径が大きいぶん、隔たりも広くなります。

質量数が同じ相手は分けにくい

窒素分子も一酸化炭素も質量数は $28$ です。原子核の結合エネルギーの差だけ実際の質量が違いますが、その差は 0.1\ \mathrm{%} にも届きません。

$\frac{\Delta r}{r}$ もそのまま 0.1\ \mathrm{%} 未満。半径 $5.8\mathrm{cm}$ に対して $0.06\mathrm{mm}$ 以下です。

ここまで細かい差を読むには、速度選別器の幅をさらに狭め、検出器の位置も精密にする必要があります。高分解能の装置が別に作られるのは、この線を越えるためです。

分解能

半径の相対的な差は、質量の相対的な差にそのまま等しくなります。

$$\frac{\Delta r}{r}=\frac{\Delta m}{m}$$

ネオンの $20$ と $22$ なら 10\ \mathrm{%} で、分けるのは楽です。

塩素の $35$ と $37$ は 5.7\ \mathrm{%}。同じ条件で半径を計算すると $7.26\mathrm{cm}$ と $7.67\mathrm{cm}$ で、差は $4.1\mathrm{mm}$。着地点では $8.2\mathrm{mm}$ 開きます。

質量数が大きくなるほど、相対的な差は小さくなる。ただし半径そのものが大きくなるので、絶対的な差はさほど縮みません。

検算のしかた

半径の比が質量の比と一致するかを見ます。速さと電荷と磁場が共通なら、比は必ず質量の比になります。

単位も確かめます。$\frac{\mathrm{kg}\times m/s}{\mathrm{C}\times \mathrm{T}}$ が $\mathrm{m}$ になるはず。

質量数に直したときに整数の近くに来るかも手がかりです。$22.0$ や $35.0$ から大きく外れたら、どこかの桁が違います。

速さをそろえてから磁場へ入れる。この 1 手で、半径が質量だけを映す量に変わります。

参考