対称な抵抗回路の解き方 - 等電位の点を短絡する

$6 Ω$ の抵抗を立方体の 12 本の辺すべてに置き、向かい合う頂点のあいだの合成抵抗を求めます。答えは $5 Ω$ です。

12 本を 1 本ずつ直列と並列に分けようとすると、どこから手を付けるか決まりません。対称性を先に使うと、3 段の直列に折りたためます。

鍵になるのは、同じ電位の点を見つけること。等電位の 2 点は、つないでも切り離しても回路が変わりません。

等電位の点は自由に扱える

2 点の電位が等しければ、そのあいだに電流は流れません^[1]。

流れないなら、導線でつないでも何も起きない。逆に、そこにある抵抗をとり外しても何も起きません。

この 2 つを使い分けると、複雑な網を単純な直並列に潰せます。つなぐほうを短絡、外すほうを切断といいます。

回路の対称面を探す

面の上にある点どうしを等電位と判定する

短絡か切断で回路を直並列の形に潰す

例：正方形の対角

正方形 $ABCD$ の 4 辺に $r$ を置き、対角の $A$ と $C$ に電源をつなぎます。

$AC$ を通る直線が対称の軸です。 $B$ と $D$ は、この軸をはさんで鏡に映した位置にある。

したがって $B$ と $D$ は等電位です。 $A \to B \to C$ と $A \to D \to C$ の 2 経路が並列になります。

$R = \frac{( 2 r ) \times ( 2 r )}{2 r + 2 r} = r$

対角線 $BD$ にも抵抗があった場合はどうか。 $B$ と $D$ が等電位なので、その抵抗はとり外してよい。答えは $r$ のままです。

例：正方形の隣どうし

同じ正方形で、 $A$ と $B$ につなぎます。対称面は $AB$ と $CD$ の中点を通る線。

この面は辺を横切るので、等電位になる頂点の組がありません。折りたたみは使えない。

ただし経路は単純です。 $AB$ の直通と、 $A \to D \to C \to B$ の並列だけ。

$R = \frac{r \times 3 r}{r + 3 r} = \frac{3}{4} r$

例：平衡したブリッジ

ホイートストンブリッジが平衡しているとき、橋の 2 点は等電位です^[3]。

$20 Ω$ 、 $30 Ω$ 、 $40 Ω$ 、 $60 Ω$ の平衡した組で、全体の合成抵抗を出します。

橋を切って考えると、 $50 Ω$ と $100 Ω$ の並列。

$R = \frac{50 \times 100}{150} = 33.3 Ω$

橋を短絡して考えると、 $20$ と $40$ の並列に、 $30$ と $60$ の並列を直列でつないだ形。

$R = \frac{20 \times 40}{60} + \frac{30 \times 60}{90} = 13.3 + 20 = 33.3 Ω$

同じ値になりました。等電位なら、どちらの扱いをしても結果が変わらない。

例：立方体の対角

冒頭の問題に戻ります。 $6 Ω$ を 12 辺に置き、体対角線で向かい合う頂点 $A$ と $B$ をつなぎます。

$A$ から出る辺は 3 本。対称性からこの 3 本には同じ電流が流れ、行き先の 3 頂点は等電位です。

$B$ に入る辺も 3 本で、その手前の 3 頂点もやはり等電位。頂点は 3 つの層に分かれます。

等電位の点を短絡すると、立方体が 3 段の直列に化けます。

$A$ から 1 層目までが 3 本の並列、1 層目から 2 層目までが 6 本の並列、2 層目から $B$ までが 3 本の並列。

$R = \frac{r}{3} + \frac{r}{6} + \frac{r}{3} = \frac{5}{6} r$

$r = 6 Ω$ なら $5 Ω$ 。12 本の抵抗が、3 つの数の足し算になりました。

例：無限に続く梯子

対称性の別の使い方もあります。同じ形が無限に続く回路では、1 段ぶんを外しても残りは元と同じ形になる。

$r$ を直列に、 $r$ を並列に置いた梯子が無限に続くとします。全体の抵抗を $R$ と置くと、次の関係が成り立ちます。

$R = r + \frac{r R}{r + R}$

整理すると 2 次方程式になります。

$R^{2} - r R - r^{2} = 0 ⟹ R = \frac{1 + 5}{2} r$

$r = 10 Ω$ なら $16.2 Ω$ 。黄金比が出てきました。

鏡に映した対称性

同じ位置にある点どうしを等電位と判定し、短絡か切断で潰す

自分自身に重なる対称性

1 段外しても同じ形になることを使い、未知数を含む方程式を立てる

検算のしかた

短絡と切断の両方で計算して、同じ値になるかを見ます。等電位の判定が正しければ必ず一致する。

一致しなければ、その 2 点は等電位ではありません。判定をやり直します。

大まかな範囲も確かめます。合成抵抗は、いちばん短い経路の抵抗より必ず小さい。立方体の最短経路は 3 辺ぶんの $3 r$ なので、答えはそれより小さいはずです。実際は $\frac{5}{6} r$ でした。

対称でない点を等電位と決めつける。

等電位でない 2 点を短絡する。回路が変わってしまいます。

立方体で、対角線上の経路を 1 本ずつ足す。

無限梯子で、1 段外した残りが元と違う形だと考える。

短絡と切断を同じ問題の中で混ぜて使う。どちらか一方に決めます。

正方形の 4 辺と 2 本の対角線すべてに $12 Ω$ を置き、向かい合う 2 頂点のあいだの抵抗を測ります。値はどれですか。

$6 Ω$
$12 Ω$
$4 Ω$

__RESULT__

つないだ 2 頂点を結ぶ対角線の $12 Ω$ が直通です。残る 2 頂点は等電位なので、その 2 点を結ぶ対角線は外せます。 $24 Ω$ の経路が 2 本残るので、 $12$ と $24$ と $24$ の並列で $6 Ω$ になります。 $12 Ω$ は直通だけを見た値です。

対称面を 1 本引いて、そこで向かい合う点を等電位とみなす。それだけで、手の付けようがなかった網が直並列に落ちます。

参考

Resistors in Series and Parallel. University Physics Volume 2, OpenStax.

Richard Fitzpatrick. *Kirchhoff's Rules*. Electromagnetism and Optics, The University of Texas at Austin.

*Die Wheatstone-Brückenschaltung (E9)*. Physikalisches Praktikum, Universität Bremen.

$6\ \Omega$ を立方体の 12 辺すべてに置き、体対角線の頂点どうしをつなぐと $5\ \Omega$。1 本ずつ直並列に分けようとすると手が止まりますが、対称性で 3 段の直列へ折りたためます。電位の等しい 2 点は、導線でつないでも、あいだの抵抗をとり外しても回路が変わらない。平衡したブリッジで橋を切った場合と短絡した場合が同じ $33.3\ \Omega$ になることも確かめます。正方形の対角と隣どうし、無限に続く梯子で黄金比が出てくる自己相似の使い方まで。