一様電場に入った電子の偏向を放物運動として扱う

$2000 V$ で加速した電子を、長さ $5.0 cm$ の極板のあいだに水平に打ち込みます。極板の間隔は $1.0 cm$ 、掛ける電圧は $50 V$ 。

極板を出るまでに $1.6 mm$ 曲がり、 $20 cm$ 先のスクリーンでは $1.4 cm$ ずれます。

答えを出す式に、電子の質量も電荷も残りません。曲がり方を決めるのは 2 つの電圧の比と、極板の形だけです。

横は等速、縦は等加速度

極板に入った電子には、電場から一定の力が働きます^[1]。向きは電場に沿っていて、進行方向とは直角。

進行方向には力がないので、横向きの速さは変わりません。縦向きだけが一定の加速度で増えていく。

斜方投射と同じ形です。水平投射した物体が描く放物線を、重力の代わりに電気の力で作っている^[2]。

横向きは等速なので、極板にいる時間を出す

縦向きは等加速度なので、その時間で落ちる距離を出す

出口の縦の速さから角度を出す

極板の中にいる時間

加速電圧 $V_{0}$ で加速された電子の速さは、エネルギーの保存から出ます。

$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} = e V_{0} ⟹ v_{0} = \frac{2 e V _{0}}{m}$

$V_{0} = 2000 V$ 、 $e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ 、 $m = 9.1 \times 1 0^{- 31} kg$ を入れます^[3]。

$v_{0} = \frac{2 \times 1.6 \times 1 0 ^{- 19} \times 2000}{9.1 \times 1 0 ^{- 31}} = 2.7 \times 1 0^{7} m/s$

光速の 1 割ほど。極板の長さ $ℓ = 0.050 m$ を通り抜ける時間は $1.9 \times 1 0^{- 9} s$ です。

縦向きの加速度

極板間の電場は、電圧を間隔で割った値になります。

$E = \frac{V}{d} = \frac{50}{0.010} = 5.0 \times 1 0^{3} V/m$

加速度は力を質量で割るだけ。

$a = \frac{e E}{m} = \frac{1.6 \times 1 0 ^{- 19} \times 5.0 \times 1 0 ^{3}}{9.1 \times 1 0 ^{- 31}} = 8.8 \times 1 0^{14} m/ s^{2}$

けた違いの値に見えますが、働いている時間が $1 0^{- 9} s$ しかないので、ずれは $mm$ にとどまります。

$y = \frac{1}{2} a t^{2} = \frac{1}{2} \times 8.8 \times 1 0^{14} \times (1.9 \times 1 0^{- 9})^{2} = 1.6 \times 1 0^{- 3} m$

質量も電荷も消える

途中の数値を追わずに、記号のまま最後まで進めてみます。

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{e E}{m} \cdot (\frac{ℓ}{v _{0}})^{2} = \frac{e V ℓ ^{2}}{2 m d v _{0}^{2}}$

ここに $v_{0}^{2} = \frac{2 e V _{0}}{m}$ を代入します。

$y = \frac{e V ℓ ^{2}}{2 m d} \cdot \frac{m}{2 e V _{0}} = \frac{V ℓ ^{2}}{4 d V _{0}}$

$e$ と $m$ がそろって消えました。残ったのは 2 つの電圧の比と、極板の長さと間隔だけ。

$y = \frac{50 \times ( 0.050 ) ^{2}}{4 \times 0.010 \times 2000} = 1.6 \times 1 0^{- 3} m$

同じ装置に別の粒子を入れても、加速電圧が同じなら曲がり方は変わりません。

重い粒子は遅いので長く力を受け、軽い粒子は速いので短い時間しか受けない。この 2 つがちょうど打ち消し合う。

陽子を入れても、ずれの大きさは $1.6 mm$ のままです。違うのは曲がる向きだけ。電荷が正なので、電子とは反対側の極板へ寄ります。

出口の角度

極板を出るときの縦の速さは $v_{y} = a t$ です。横の速さは $v_{0}$ のままなので、角度は次の比で出ます。

$tan θ = \frac{v _{y}}{v _{0}} = \frac{a t}{v _{0}}$

数値を入れると $0.0625$ で、 $θ = 3. 6^{\circ}$ 。ごくわずかな傾きです。

この角度と、極板内で曲がった距離のあいだには、きれいな関係が成り立ちます。

$y = \frac{1}{2} a t^{2} = \frac{1}{2} (a t) \cdot t = \frac{1}{2} v_{y} \cdot \frac{ℓ}{v _{0}} = \frac{ℓ}{2} tan θ$

軌道は極板の中央から出たように見える

$y = \frac{ℓ}{2} tan θ$ という関係の意味を、図にすると分かります。

出口での位置と傾きから軌道を逆にたどると、極板の中央、しかも入射した高さの線上に戻る。放物線を 1 本の折れ線で置きかえられます。

例：スクリーン上の変位

極板の出口から $20 cm$ 先にスクリーンを置きます。

出たあとは力が働かないので、直線で進みます。傾き $0.0625$ のまま $0.20 m$ 進むと、 $1.25 cm$ ずれる。

極板の中で曲がった $0.16 cm$ を足して、 $1.4 cm$ です。

区間	ずれ	動きの形
極板の中	$0.16 cm$	放物線
極板からスクリーン	$1.25 cm$	直線
合計	$1.4 cm$	折れ線とみなせる

スクリーンが遠いほど、直線部分が効いてきます。実際のブラウン管では、極板の中のずれは全体の数パーセントにしかなりません^[2]。

重力は無視できる

電子にも重力は働きます。桁を比べてみます。

$m g = 9.1 \times 1 0^{- 31} \times 9.8 = 8.9 \times 1 0^{- 30} N$

$e E = 1.6 \times 1 0^{- 19} \times 5.0 \times 1 0^{3} = 8.0 \times 1 0^{- 16} N$

比は $1 0^{14}$ 倍。重力を書き足しても、有効数字のどこにも現れません。

斜方投射

一定の力は重力。粒子の質量が大きいほど落ちにくくなる

電場での偏向

一定の力は $q E$ 。加速電圧が同じなら、質量にも電荷にもよらない

例：偏向電圧はどこまで上げられるか

ずれが極板の間隔の半分を超えると、電子は極板に当たって外へ出られません。

$\frac{V ℓ ^{2}}{4 d V _{0}} < \frac{d}{2}$

$V$ について解きます。

$V < \frac{2 d ^{2} V _{0}}{ℓ ^{2}} = \frac{2 \times ( 0.010 ) ^{2} \times 2000}{( 0.050 ) ^{2}} = 160 V$

$160 V$ が上限でした。これを超えると画面に何も映りません。間隔を広げれば上限は 2 乗で上がりますが、そのぶん同じ電圧での曲がりは小さくなります。

寸法を変えるとどう効くか

$y = \frac{V ℓ ^{2}}{4 d V _{0}}$ を見ると、それぞれの効き方が読めます。

極板を長くする

$ℓ$ の 2 乗で効くので、 $2$ 倍にすればずれは $4$ 倍。力を受ける時間が伸びるうえ、その時間で落ちる距離が 2 乗で効くため

間隔を広げる

$d$ に反比例するので、 $2$ 倍にすればずれは半分。同じ電圧でも電場が弱くなるため

加速電圧を上げる

$V_{0}$ に反比例する。速く飛ぶぶん、力を受ける時間が短くなるため

長くするのが最も効きますが、装置が伸びます。実際の設計では、極板を短く保ってスクリーンまでの距離で稼ぐ形になります。

偏向感度

スクリーン上の変位を、偏向電圧の 1 次式にまとめておきます。

$Y = y + L tan θ = \frac{V ℓ}{2 d V _{0}} (L + \frac{ℓ}{2})$

$V$ に比例するので、 $1 V$ あたりのずれが装置の性能になります。

$\frac{Y}{V} = \frac{0.014}{50} = 2.8 \times 1 0^{- 4} m/V$

$1 V$ で $0.28 mm$ 。 $10 cm$ の画面をいっぱいに振るには、 $350 V$ ほどの振幅が要ります。

検算のしかた

$y = \frac{V ℓ ^{2}}{4 d V _{0}}$ が使えるのは、電子が極板の外へ出るまで極板にぶつからない場合です。

出したずれが $\frac{d}{2}$ を超えていたら、その電子は途中で極板に当たっています。まずここを見ます。

角度の検算も速い。 $tan θ = \frac{2 y}{ℓ}$ を計算し、 $y$ と別々に出した値が合うかを比べます。

極板の長さと間隔を入れかえて代入する。

加速電圧と偏向電圧をとり違える。文字が似ているので起こりやすい。

極板を出たあとも曲がり続けると考える。

スクリーンまでの距離を、極板の入口から測る。

電子の重力落下を足そうとする。

極板を出たあとに力は働きません。真空中を等速直線で飛びます。

偏向電圧を $50 V$ から $100 V$ に上げ、加速電圧を $2000 V$ から $4000 V$ に上げます。極板を出るまでのずれはどうなりますか。

変わらない
2 倍になる
4 倍になる

__RESULT__

$y = \frac{V ℓ ^{2}}{4 d V _{0}}$ なので、 $V$ と $V_{0}$ を同じ倍率で上げるとずれは変わりません。加速電圧を上げると電子が速くなり、極板にいる時間が短くなるためです。

放物運動として組み立て、最後に記号のまま整理する。そうすると、装置の寸法と電圧の比だけが残ります。

出典

*Deflection of Electrons*. PHYS 102 Laboratory, Rice University.

Andreas Wipf. *Elektrodynamik*, Kapitel 2: Einführung in die Elektrostatik. Theoretisch-Physikalisches Institut, Universität Jena.

Electron mass. CODATA 2022, National Institute of Standards and Technology.

$2000\ \mathrm{V}$ で加速した電子を長さ $5.0\ \mathrm{cm}$ の極板に打ち込み、$50\ \mathrm{V}$ を掛けると $1.6\ \mathrm{mm}$ 曲がります。$20\ \mathrm{cm}$ 先のスクリーンでは $1.4\ \mathrm{cm}$。記号のまま整理すると $y = V\ell^2/(4dV_0)$ になり、$e$ と $m$ がそろって消える。陽子に入れかえても、曲がる向きが変わるだけで大きさは同じです。出口の傾きで軌道を逆にたどると極板の中央に戻ること、偏向電圧の上限が $160\ \mathrm{V}$ になること、重力が $10^{14}$ 倍の差で効かないことまで。