コイルを通る電気量と磁束の変化〜速さによらない理由

$100$ 回巻きのコイルを磁場から引き抜くと、$0.040\mathrm{C}$ の電気量が回路を通ります。

ゆっくり抜いても、素早く抜いても同じ値です。速く抜けば電流は大きくなりますが、流れている時間がそのぶん短くなります。

流れる電気量を決めるのは、磁束がどれだけ変わったかだけ^[1]。

$$q=\frac{N\Delta \Phi }{R}$$

電流を時間で積む

電気量は、電流を時間で足し上げた量です。ファラデーの法則から電流を書きます。

$$I=\frac{\epsilon }{R}=\frac{N}{R}\cdot \frac{\Delta \Phi }{\Delta t}$$

これに $\Delta t$ を掛けると、$\Delta t$ が約分で消えます。

$$q=I\Delta t=\frac{N\Delta \Phi }{R}$$

残ったのは磁束の変化量と巻数と抵抗だけ。時間がどこにも入っていません。

速さが消える理由

素早く抜くと、電流のグラフは背が高く幅が狭い山になります。ゆっくり抜けば、低くて広い山。

電気量はその山の面積にあたります。高さと幅が逆に動くので、面積が変わりません。

例：コイルを抜く

$N=100$、面積 $0.010{\mathrm{m}}^2$ のコイルを $0.20\mathrm{T}$ の磁場に正面から入れ、回路の抵抗を $5.0\Omega$ とします。

はじめの磁束は $0.20\times 0.010=2.0\times 10^{-3}\mathrm{Wb}$。抜き終われば $0$ です。

$$q=\frac{100\times 2.0\times 10^{-3}}{5.0}=4.0\times 10^{-2}\mathrm{C}$$

$0.040\mathrm{C}$。$0.50\mathrm{s}$ かけて抜けば平均 $0.080\mathrm{A}$、$0.050\mathrm{s}$ なら平均 $0.80\mathrm{A}$ が流れます。

抜くのに要る仕事は速さで変わる

電気量は速さによりません。ところが、抜くのに要る仕事のほうは違います。

一定の速さ $v$ で幅 $L$ のコイルを抜くとき、磁場から受ける抵抗力は次の形です^[2]。

$$F=\frac{B^2{L}^{2}v}{R}$$

速さに比例します。同じ距離を動かすなら、仕事も速さに比例して増える。

例：仕事を比べる

$B=0.20\mathrm{T}$、$L=0.10\mathrm{m}$、$R=5.0\Omega$ の 1 巻きコイルを $0.10\mathrm{m}$ 動かして抜きます。

$v=0.10m/s$ なら、力は $\frac{0.04\times 0.01\times 0.10}{5.0}=8.0\times 10^{-6}\mathrm{N}$。仕事は $8.0\times 10^{-7}\mathrm{J}$。

$v=1.0m/s$ にすると、力も仕事も $10$ 倍になります。

電気量のほうは、どちらでも $\frac{0.20\times 0.010}{5.0}=4.0\times 10^{-4}\mathrm{C}$ で変わりません。

例：磁石がコイルを通り抜ける

コイルの中を磁石が落ちていく場合を考えます。磁束は $0$ から増えて最大になり、また $0$ へ戻る。

前半と後半で、磁束の変わる向きが逆になります。したがって電流の向きも逆。

前半に通る電気量は $\frac{N{\Phi }_{\max }}{R}$、後半も同じ大きさで向きが逆です。差し引きすると正味は $0$ になります。

${\Phi }_{\max }=2.0\times 10^{-3}\mathrm{Wb}$、$N=100$、$R=5.0\Omega$ なら、前半も後半も $0.040\mathrm{C}$。

正味が $0$ でも、電流計の針は 2 回振れます。向きが逆なので打ち消し合って見えるだけで、何も起きていないわけではありません。

例：抵抗を変える

$q=\frac{N\Delta \Phi }{R}$ の分母に $R$ があるので、抵抗を大きくすると電気量は減ります。

$5.0\Omega$ を $10\Omega$ にすれば、$0.040\mathrm{C}$ が $0.020\mathrm{C}$ に。半分です。

回路を切って $R$ を無限大にすれば、電気量は $0$。起電力は生まれていますが、電流の通り道がありません。

このとき両端には電圧が現れます。電気量が $0$ でも、起電力まで $0$ になるわけではない。

例：発熱の総量

抜くあいだに出る熱は、電流の 2 乗を時間で積んだ値です。

一定の速さで抜くなら、電流も一定になります。時間を $\Delta t$ として書きます。

$$Q=I^{2}R\Delta t={\left(\frac{q}{\Delta t}\right)}^{2}R\Delta t=\frac{q^{2}R}{\Delta t}$$

$\Delta t$ が分母に残りました。素早く抜くほど熱が増える。電気量とは効き方が逆になります。

$q=0.040\mathrm{C}$、$R=5.0\Omega$ で $0.50\mathrm{s}$ かけると $1.6\times 10^{-2}\mathrm{J}$。$0.050\mathrm{s}$ なら $10$ 倍の $0.16\mathrm{J}$ です。

磁束を測る道具になる

この性質は、磁束を測る装置に使われています。

コイルを磁場から素早く引き抜き、流れた電気量を積算します。抵抗と巻数が分かっていれば、逆に解いて磁束が出る。

$$\Phi =\frac{qR}{N}$$

抜く速さを制御する必要がありません。手で引き抜いても、機械で抜いても同じ値になります。

地磁気を測るときも同じ手を使います。小さなコイルを地磁気の中で $180^{\circ }$ 反転させ、流れた電気量から磁束密度を出す^[3]。

例：180 度反転させる

抜くのではなく、コイルを裏返す場合を考えます。

磁束は $+BA$ から $-BA$ へ変わるので、変化量は $2BA$。抜く場合の $2$ 倍です。

$$q=\frac{2NBA}{R}$$

さきほどの数値なら $0.080\mathrm{C}$。同じコイルでも、操作を変えると電気量が倍になります。

検算のしかた

単位を見ます。$\frac{\mathrm{Wb}}{\Omega }$ が $\mathrm{C}$ になるはず。$\mathrm{Wb}=\mathrm{V}\cdot \mathrm{s}$、$\frac{\mathrm{V}\cdot \mathrm{s}}{\Omega }=\mathrm{A}\cdot \mathrm{s}=\mathrm{C}$ で合います。

平均の電流からも確かめられます。$q$ を実際にかかった時間で割った値が、平均の電流になるはずです。

抜き方を変えた 2 通りで計算し、同じ値が出るかを見るのも早い。違えば、どこかに時間が残っています。

変化率ではなく変化量。この 1 語の違いで、時間が式から落ちます。

参考