速度選別器のしくみを電場と磁場の向きから理解する

$1.0\times 10^{5}V/m$ の電場と $0.020\mathrm{T}$ の磁場を直交させます。まっすぐ通り抜けられるのは、速さが $5.0\times 10^{6}m/s$ の粒子だけです。

電荷がいくつでも、質量がいくつでも同じ。$\frac{E}{B}$ という比だけが通す速さを決めます。

いろいろな速さの粒子が混ざったビームから、1 つの速さだけを抜き出す装置になります^[1]。

2 つの力を向かい合わせる

電場から受ける力は $qE$ で、電場の向きに沿っています。速さには関係ありません。

磁場から受ける力は $qvB$ で、速度と磁場の両方に垂直。速いほど大きくなります。

この 2 つが正反対を向くように配置します。速度、電場、磁場が互いに直角になる並べ方です。

$$qE=qvB$$

電荷も質量も消える

両辺に $q$ があるので、約分できます^[1]。

$$v=\frac{E}{B}$$

電荷の大きさも符号も、質量も出てきません。電子でも陽子でも重いイオンでも、通り抜ける速さは同じです。

電荷の符号を変えると 2 つの力が両方とも反転するので、釣り合いは保たれたまま。だから正の粒子と負の粒子を同時に選別できます。

例：5.0 × 10 の 6 乗 m/s を選ぶ

$E=1.0\times 10^{5}V/m$、$B=0.020\mathrm{T}$ とします。

$$v=\frac{1.0\times 10^5}{0.020}=5.0\times 10^{6}m/s$$

極板の間隔が $1.0\mathrm{cm}$ なら、必要な電圧が出ます。

$$V=Ed=1.0\times 10^5\times 0.010=1000\mathrm{V}$$

$1000\mathrm{V}$ と $0.020\mathrm{T}$ の組み合わせ。どちらも実験室で作れる大きさです。

速すぎる粒子と遅すぎる粒子

$v$ が大きいと磁場の力が勝ち、粒子はそちらへ曲がります。$v$ が小さいと電場の力が勝ち、逆へ曲がる。

どちらもスリットに当たって止まります。まっすぐ進んだものだけが先へ抜ける仕組みです。

正味の力は差で書けます。

$$F=q(vB-E)$$

$vB>E$ なら磁場の側、$vB<E$ なら電場の側。$v=\frac{E}{B}$ でちょうど $0$ になります。

選別の鋭さ

どれくらい速さがずれると通れなくなるか。極板の長さを $5.0\mathrm{cm}$、スリットの半幅を $0.5\mathrm{mm}$ とします。

速さのずれを $\Delta v$ とすると、正味の力は $q\Delta vB$。加速度は比電荷を掛けた値です。

$$a=\frac{q}{m}\Delta vB$$

電子なら $\frac{q}{m}=1.76\times 10^{11}C/kg$。通過にかかる時間は $\frac{0.050}{5.0\times 10^6}=1.0\times 10^{-8}\mathrm{s}$ です。

$$y=\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{1}{2}\times 1.76\times 10^{11}\times \Delta v\times 0.020\times (1.0\times 10^{-8}{)}^2$$

$y=0.5\mathrm{mm}$ になる $\Delta v$ を解くと $2.8\times 10^{3}m/s$。速さの 0.06\ \mathrm{%} です。

例：極板の長さを変える

ずれ $y$ は $t^2$ に比例し、$t$ は極板の長さに比例します。長さを 2 倍にすれば、同じずれを 4 倍の大きさで検出できる。

つまり通す速さの幅が 4 分の 1 になります。鋭く選びたいなら、装置を長くする手が素直です。

ただし長くするほど、選ばれた粒子の数も減ります。もとのビームに含まれる割合が狭まるためです。

質量分析へつなぐ

速度選別器を通った粒子は、速さがそろっています。その先に一様な磁場を置くと、円運動の半径が測れる。

$$r=\frac{mv}{q{B}_0}$$

$v$ が既知なので、半径から $\frac{m}{q}$ が出ます^[1]。

$$\frac{q}{m}=\frac{E}{B{B}_{0}r}$$

速さをそろえる工程を先に置かないと、半径が速さと質量の両方で決まってしまい、切り分けられません。

検算のしかた

$\frac{E}{B}$ の単位が $m/s$ になるかを見ます。$V/m$ を $\mathrm{T}$ で割った形です。

答えが光速を超えていないかも確かめます。超えたら、電場か磁場の桁が違う。

2 つの力の向きも見直します。同じ向きになっていたら、どこかで磁場か速度の向きをとり違えています。

2 つの力を向かい合わせて $q$ を約分する。残るのは $\frac{E}{B}$ だけで、粒子が何であっても通す速さは同じです。

参考