コンデンサーの極板を引き離す問題（電池つきと電池なし）

$200\mathrm{pF}$ のコンデンサーを $100\mathrm{V}$ で充電し、電池を外してから極板の間隔を 2 倍にします。電圧は $200\mathrm{V}$ に上がり、蓄えたエネルギーは $1.0\mu \mathrm{J}$ から $2.0\mu \mathrm{J}$ へ増えます。

電池をつないだままで同じことをすると、逆になる。電圧は $100\mathrm{V}$ のままで、エネルギーは $0.5\mu \mathrm{J}$ まで減ります。

どちらでも極板は引き合っているので、離すには手の仕事が要ります。それでもエネルギーが減る場合があるのは、電池が受けとっているからです。

変わるのは容量

平行板コンデンサーの容量は、面積を間隔で割った形で決まります^[1]。

$$C={\epsilon }_0\frac{A}{d}$$

間隔を 2 倍にすれば容量は半分。ここまでは、電池がつながっているかどうかに関係ありません。

分かれるのはこの先です。$Q=CV$ の 3 つの量のうち、何が固定されているかで残り 2 つの動き方が決まります。

例：電池を外してから離す

外した瞬間、極板の電荷には行き場がなくなります。$Q=2.0\times 10^{-8}\mathrm{C}$ が固定される。

容量が半分になるので、電圧は 2 倍です。

$$V=\frac{Q}{C}=\frac{2.0\times 10^{-8}}{1.0\times 10^{-10}}=200\mathrm{V}$$

エネルギーは $Q$ が固定なので、$\frac{Q^2}{2C}$ の形で見ると早い^[2]。

$$U=\frac{(2.0\times 10^{-8}{)}^2}{2\times 1.0\times 10^{-10}}=2.0\mu \mathrm{J}$$

$1.0\mu \mathrm{J}$ から $2.0\mu \mathrm{J}$ へ、ちょうど 2 倍になりました。

灰色の棒が電場です。電池を外した側では、間隔を変えても長さが変わりません。

電場が変わらない理由

極板の電荷が動かないなら、面電荷密度 $\sigma =\frac{Q}{A}$ も変わりません。

平行板のあいだの電場は、この密度だけで決まります^[3]。

$$E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}$$

間隔はどこにも出てきません。だから離しても電場は同じで、電圧のほうが $V=Ed$ にしたがって伸びていく。

引き離すのに要る仕事

極板は引き合っています。離すには外から力を加える必要がある。

電池を外した場合、必要な力は最後まで一定です。電場が変わらないためです。

$$F=\frac{1}{2}QE=\frac{1}{2}\times 2.0\times 10^{-8}\times 1.0\times 10^5=1.0\times 10^{-3}\mathrm{N}$$

$1.0\mathrm{mm}$ 引き離したときの仕事を出します。

$$W=F\Delta d=1.0\times 10^{-3}\times 1.0\times 10^{-3}=1.0\mu \mathrm{J}$$

増えたエネルギーとぴたり同じ。手がした仕事が、そのまま電場のエネルギーになりました。

例：電池をつないだまま離す

こちらは電圧が $100\mathrm{V}$ に固定されます。容量が半分になるので、電荷が半分に減る。

$$Q=CV=1.0\times 10^{-10}\times 100=1.0\times 10^{-8}\mathrm{C}$$

減った $1.0\times 10^{-8}\mathrm{C}$ は、導線を通って電池へ戻ります。

エネルギーは $\frac{1}{2}C{V}^2$ で、容量が半分なので半分。$0.5\mu \mathrm{J}$ に下がりました。

エネルギーはどこへ行ったか

手は仕事をしているのに、コンデンサーのエネルギーは減っています。差は電池が受けとりました。

引く力は、離すにつれて弱くなります。電荷が減っていくためです。積分すると $0.5\mu \mathrm{J}$ になる。

電池へ戻る電荷は $1.0\times 10^{-8}\mathrm{C}$、そのときの電圧は $100\mathrm{V}$。掛けて $1.0\mu \mathrm{J}$ です。

つないだままの側では、$0.5+0.5=1.0$ が電池へ返っています。収支は合っている。

例：面積を変える場合

間隔ではなく、向かい合う面積を半分にずらしてみます。容量はやはり半分です。

電池を外していれば $Q$ が一定なので、電圧は 2 倍、エネルギーも 2 倍。ここまでは間隔のときと同じ。

違うのは電場です。面積が減れば $\sigma =\frac{Q}{A}$ が 2 倍になるので、電場も 2 倍になります。

エネルギーは極板のあいだに溜まっている

エネルギーを、電荷ではなく空間の側から数えることもできます^[2,3]。

$$u=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2$$

これは $1{\mathrm{m}}^3$ あたりのエネルギーです。全体の値は、極板のあいだの体積を掛けて出します。

今回の $C=200\mathrm{pF}$、$d=1.0\mathrm{mm}$ から面積を逆算すると $0.023{\mathrm{m}}^2$ ほど。体積は $2.3\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^3$ です。

$$u=\frac{1}{2}\times 8.85\times 10^{-12}\times (1.0\times 10^5{)}^2=4.4\times 10^{-2}J/{\mathrm{m}}^3$$

掛けると $1.0\mu \mathrm{J}$。$\frac{1}{2}C{V}^2$ と同じ値になりました。

電池を外して間隔を 2 倍にした場合、電場は変わらず体積だけが 2 倍になります。エネルギーが 2 倍になった理由を、この見方はまっすぐに説明する。

引く力の変わり方も違う

2 つの場合で、必要な力の変わり方が分かれます。

電池を外していれば、電荷が変わらないので力も一定。$1.0\mathrm{mN}$ のまま最後まで引きます。

つないだままなら、離すにつれて電荷が減るので力も弱くなる。間隔 $x$ での力は次の形です。

$$F=\frac{{\epsilon }_{0}A{V}^2}{2x^2}$$

$x$ の 2 乗に反比例します。$d$ のときに $1.0\mathrm{mN}$、$2d$ まで離れたときには $0.25\mathrm{mN}$ まで落ちる。

平均をとると、つないだままの場合の仕事は電池を外した場合の半分になります。実際の値も $1.0\mu \mathrm{J}$ と $0.5\mu \mathrm{J}$ でした。

例：間隔を 3 倍にする

同じ $200\mathrm{pF}$、$100\mathrm{V}$ から始めて、今度は 3 倍まで離します。容量は $\frac{1}{3}$ の $67\mathrm{pF}$。

電池を外していれば、電圧は $300\mathrm{V}$、エネルギーは $3.0\mu \mathrm{J}$。$1.0\mu \mathrm{J}$ から $2.0\mu \mathrm{J}$ 増えたぶんが手の仕事です。

つないだままなら、電荷は $\frac{20}{3}=6.7\mathrm{nC}$、エネルギーは $0.33\mu \mathrm{J}$。

倍率の効き方が逆を向く点さえ押さえれば、答えの見当が先に立ちます。$n$ 倍に離すとき、電池を外せばエネルギーは $n$ 倍、つないだままなら $\frac{1}{n}$ 倍。

検算のしかた

まず $Q=CV$ が最後まで成り立っているかを見ます。3 つのうち 2 つを決めたら、残りは自動で決まる。

エネルギーは 3 通りの式で書けます^[2]。

$$U=\frac{1}{2}QV=\frac{1}{2}C{V}^2=\frac{Q^2}{2C}$$

固定されている量が入っている式を選ぶと、途中の計算が減ります。$Q$ 一定なら $\frac{Q^2}{2C}$、$V$ 一定なら $\frac{1}{2}C{V}^2$。

3 つの式のうち 2 つで計算して同じ値になるかを見るのも、確実な確かめ方です。

固定されている量を先に決め、その量を含むエネルギーの式を選ぶ。順番を変えるだけで、この種の問題は式 1 本で片づきます。

参考