同じ電力を送るのになぜ電圧を上げるのか？損失が電流の 2 乗で効くから

同じ $24 kW$ を送るのに、 $240 V$ で送ると $2 \times 1 0^{6} W$ が送電線で熱になります。 $12 kV$ なら $800 W$ で済む^[1]。

電圧を $50$ 倍にしただけで、損失が $2500$ 分の 1 になりました。 $50$ の 2 乗です。

送電線の抵抗は同じまま。変わったのは、そこを流れる電流だけです。

送る電力と流れる電流

送りたい電力は、電圧と電流の積で決まります^[2]。

$P = V I ⟹ I = \frac{P}{V}$

同じ電力を送るなら、電圧を上げるほど電流は減ります。反比例の関係です。

$24 kW$ を $240 V$ で送るなら $100 A$ 、 $12 kV$ なら $2.0 A$ 。

損失は電流の 2 乗

送電線で熱になる電力は、線の抵抗と電流だけで決まります^[2]。

$P_{損失} = I^{2} R$

送る電圧はここに出てきません。効くのは電流のほうです。

2 つの式をつなぎます。

$P_{損失} = (\frac{P}{V})^{2} R = \frac{P ^{2} R}{V ^{2}}$

電圧の 2 乗に反比例する形になりました。 $10$ 倍にすれば $100$ 分の 1、 $50$ 倍なら $2500$ 分の 1 です。

送る電力を電圧で割って電流を出す

その電流の 2 乗に線の抵抗を掛ける

送る電力と比べて損失の割合を出す

例：100 kW を送る

線の抵抗を $10 Ω$ とし、電圧を変えて比べます。

$1.0 kV$ で送るなら電流は $100 A$ 。

$P_{損失} = 10 0^{2} \times 10 = 1.0 \times 1 0^{5} W$

送りたい $100 kW$ とまったく同じ値です。全部が途中で熱になり、何も届きません。

$10 kV$ に上げると電流は $10 A$ 、損失は $1.0 kW$ 。送る電力の $1\ \mathrm{%}$ に収まります。

送電の電圧	電流	損失	損失の割合
$1.0 kV$	$100 A$	$100 kW$	$100 %$
$10 kV$	$10 A$	$1.0 kW$	$1.0 %$
$100 kV$	$1.0 A$	$10 W$	$0.01 %$

けたが 1 つ上がるたびに、損失が 2 けた下がります。この効き方が、高圧送電を選ばせています。

損失の式に送る電力の 2 乗も入っている点を見落とさないようにします。

$P_{損失} = \frac{P ^{2} R}{V ^{2}}$ 。同じ電圧でも、送る量が 2 倍になれば損失は 4 倍になる。

変圧器で上げ下げする

高い電圧のまま家庭へ引き込むわけにはいきません。途中で下げます。

変圧器は、巻数の比で電圧を変えます^[1]。

$\frac{V _{2}}{V _{1}} = \frac{N _{2}}{N _{1}}, \frac{I _{2}}{I _{1}} = \frac{N _{1}}{N _{2}}$

電圧を上げれば電流が下がり、電力は保たれる。損失のない理想の変圧器なら $V_{1} I_{1} = V_{2} I_{2}$ です。

発電所で上げ、消費地の近くで段階的に下げる。この上げ下げができるのは交流だからで、直流では簡単にいきません。

例：電圧降下も減る

損失だけでなく、届く電圧も問題になります。線の抵抗による電圧降下です。

$100 kW$ を $10 kV$ 、 $10 Ω$ で送る場合、電流は $10 A$ 。

$Δ V = I R = 10 \times 10 = 100 V$

$10 kV$ に対して $100 V$ なので、 $1\ \mathrm{%}$ の低下で済みます。

$1.0 kV$ で送ると $Δ V = 100 \times 10 = 1000 V$ 。送り出した電圧と同じだけ下がるので、先には何も届きません。

家庭の電圧が低い理由

送電の効率だけを見れば、電圧は高いほうがよいことになります。それでも家庭では $100 V$ が使われています。

高い電圧ほど絶縁が難しく、感電の危険も大きくなるためです。送る距離が短ければ、電流が大きくても損失は小さく収まります。

長い距離を送る

線の抵抗が大きい。電圧を上げて電流を減らす

短い距離で使う

線の抵抗が小さい。安全のために電圧を下げる

例：線を太くする

損失を減らす道はもう 1 つあります。線の抵抗そのものを下げることです。

抵抗は断面積に反比例するので、直径を $2$ 倍にすれば断面積が 2 倍、抵抗は半分。損失も半分になります。

$100 kW$ を $10 kV$ で送る例なら、 $10 Ω$ を $5.0 Ω$ に下げて損失が $1.0 kW$ から $0.50 kW$ へ。

ただし銅やアルミの量が 2 倍になり、鉄塔にかかる重さも増えます。

例：損失を半分にする 2 つの手

同じ効果を電圧で出すなら、 $2 = 1.41$ 倍に上げるだけで足ります。 $10 kV$ を $14.1 kV$ にする。

線はそのままなので、材料は増えません。変圧器の絶縁を強くする必要はありますが、線を全長にわたって太くするより安く済みます。

電圧を上げる

$V$ の 2 乗で効く。線の材料は増えないが、絶縁と安全の設計が要る

線を太くする

断面積に反比例するだけ。確実に効くが、材料と重さがそのまま増える

長い距離ほど、線を太くする費用が積み上がります。距離が伸びるほど電圧を上げる側が有利になる。

例：段階的に下げる

発電所で上げた電圧を、消費地へ近づくにつれて何段階かで下げていきます。

長い区間ほど高い電圧、短い区間ほど低い電圧。それぞれの区間で $\frac{P ^{2} R}{V ^{2}}$ が小さく収まるように選ばれます。

各段の変圧器にも損失がありますが、送電線で捨てるぶんに比べれば小さい。段数を増やしてでも電圧を合わせるほうが得になります。

検算のしかた

損失の割合が $100\ \mathrm{%}$ を超えていないかを見ます。超えたなら、その条件では送れません。

電圧を $n$ 倍にしたとき、損失が $n^{2}$ 分の 1 になっているかも確かめます。なっていなければ、電流の 2 乗を落としています。

損失と電圧降下の両方を出すのも手です。 $\frac{Δ V}{V}$ と $\frac{P _{損失}}{P}$ は同じ値になります。

損失を

\frac{V ^{2}}{R}

とする。それは線の両端に電圧が掛かった場合の式です。

送る電圧を損失の式にそのまま入れる。入るのは電流です。

電圧を 2 倍にすると損失が半分になると考える。4 分の 1 です。

変圧器で電力が増えると考える。電圧と電流が逆に動くだけです。

送電線の抵抗を、往復ぶん数え忘れる。

$50 kW$ を抵抗 $8.0 Ω$ の線で送ります。電圧を $5.0 kV$ から $50 kV$ に上げると、損失はどうなりますか。

$800 W$ から $8.0 W$ へ
$800 W$ から $80 W$ へ
$80 W$ から $8.0 W$ へ

__RESULT__

$5.0 kV$ なら電流は $10 A$ で、損失は $1 0^{2} \times 8.0 = 800 W$ 。電圧を $10$ 倍にすると電流は $1.0 A$ になり、損失は $100$ 分の 1 の $8.0 W$ です。

送る電力を電圧で割って電流にする。そこから 2 乗するので、電圧の効きめが 2 乗になって返ってきます。

参考

Transformers. University Physics Volume 2, OpenStax.

Electrical Energy and Power. University Physics Volume 2, OpenStax.

Resistivity and Resistance. University Physics Volume 2, OpenStax.

同じ $24\ \mathrm{kW}$ を $240\ \mathrm{V}$ で送ると $2 \times 10^{6}\ \mathrm{W}$ が線で熱になり、$12\ \mathrm{kV}$ なら $800\ \mathrm{W}$ で済みます。電圧を $50$ 倍にしただけで $2500$ 分の 1。$P = VI$ と $I^2R$ をつなぐと $P^2R/V^2$ になり、電圧の 2 乗に反比例する形が出ます。$100\ \mathrm{kW}$ を $10\ \Omega$ の線で送る場合、$1\ \mathrm{kV}$ では送る電力と同じだけ捨てて何も届かず、$10\ \mathrm{kV}$ で $1\ \mathrm{%}$ に収まる。線を太くする手との費用の比べ方や、電圧降下も同じ割合で減ることまで。