コンデンサーに導体板をはさむと間隔が縮んだ扱いになる

間隔 $1.0\mathrm{mm}$、容量 $100\mathrm{pF}$ のコンデンサーに、厚さ $0.4\mathrm{mm}$ の金属板をはさみます。容量は $167\mathrm{pF}$ になります。

金属板を上に寄せても、下に寄せても、まん中に置いても値は同じ。効くのは厚みだけで、位置は答えに出てきません。

$0.4\mathrm{mm}$ の板を入れた結果は、間隔を $0.6\mathrm{mm}$ に縮めた場合と区別が付かない。金属の中に電場が入り込めないためです。

金属の中は電場が 0

導体の内部では、静電気の状態で電場が $0$ になります^[1]。自由電子が動ける状態で電場が残っていると、動きが止まらないためです。

極板間に入れた金属板でも同じ。板の上面と下面に電荷が誘導され、板の内部では電場を打ち消し合います。

電場が通れるのは、板の外に残った隙間だけになりました。

実効的な間隔で書き直す

厚さ $t$ の金属板を入れたコンデンサーの容量は、間隔から板の厚みを引いた値で決まります。

$$C={\epsilon }_0\frac{A}{d-t}$$

もとの容量 $C_0={\epsilon }_{0}A/d$ を使って書き直すと、倍率が見えます。

$$C=\frac{d}{d-t}{C}_0$$

$d=1.0\mathrm{mm}$、$t=0.4\mathrm{mm}$ なら $\frac{1.0}{0.6}=1.67$ 倍。$100\mathrm{pF}$ が $167\mathrm{pF}$ になります。

位置によらない理由

板を上に寄せた場合を、2 つのコンデンサーの直列として計算してみます^[2]。

上の隙間を $a$、下の隙間を $b$ とすると、$a+b=d-t$ です。

$$\frac{1}{C}=\frac{a}{{\epsilon }_{0}A}+\frac{b}{{\epsilon }_{0}A}=\frac{a+b}{{\epsilon }_{0}A}=\frac{d-t}{{\epsilon }_{0}A}$$

$a$ と $b$ が別々には残らず、和だけが出てきました。どう分けても合計は $d-t$ なので、位置は効きません。

例：電池を外して入れる

$100\mathrm{V}$ で充電してから電池を外し、金属板を差し込みます。$Q=1.0\times 10^{-8}\mathrm{C}$ が固定される。

容量が $167\mathrm{pF}$ に増えるので、電圧は下がります。

$$V=\frac{Q}{C}=\frac{1.0\times 10^{-8}}{1.67\times 10^{-10}}=60\mathrm{V}$$

隙間の電場は変わらず $1.0\times 10^{5}V/m$ のまま。働く距離が $0.6\mathrm{mm}$ に縮んだので、$60\mathrm{V}$ になりました。

エネルギーも下がります。

$$U=\frac{Q^2}{2C}=\frac{(1.0\times 10^{-8}{)}^2}{2\times 1.67\times 10^{-10}}=0.30\mu \mathrm{J}$$

$0.50\mu \mathrm{J}$ から $0.30\mu \mathrm{J}$ へ。減った $0.20\mu \mathrm{J}$ は、板が引き込まれるときの仕事になります。

金属板は吸い込まれる

エネルギーが下がる向きに動くので、金属板は自分から隙間へ入っていきます。

板の上面には負の電荷、下面には正の電荷が誘導される。どちらの極板とも引き合う配置です。

差し込むのに力は要りません。逆に、抜くときには $0.20\mu \mathrm{J}$ の仕事が必要になります。

上の隙間が広がれば下が狭まる。和が変わらないので、容量も変わりません。

誘電体との違い

誘電体を入れた場合は、中の電場が $0$ にはならず $\frac{1}{{\epsilon }_{\mathrm{r}}}$ に弱まるだけです^[3]。

金属は、この ${\epsilon }_{\mathrm{r}}$ を無限大にした極限にあたります。中の電場がまったく残らない。

厚さ $t$ の誘電体を入れた場合の実効的な間隔は $d-t+\frac{t}{{\epsilon }_{\mathrm{r}}}$。${\epsilon }_{\mathrm{r}}\to \infty$ とすれば $d-t$ に一致します。

例：薄い金属箔なら効かない

$t=0.01\mathrm{mm}$ の箔を入れてみます。

$$C=\frac{1.0}{0.99}\times 100=101\mathrm{pF}$$

1\ \mathrm{%} しか増えません。厚みがなければ、実効的な間隔もほとんど縮まない。

金属を入れると容量が大きく増える、と覚えていると外します。効くのは厚みで、金属かどうか自体ではありません。

例：極板に触れさせる

板を上へ寄せていき、上の極板に触れさせます。$a=0$ になり、上下の隙間は $d-t$ すべてが下側に来る。

容量の式は変わりません。$167\mathrm{pF}$ のままです。

さらに厚みを増やして $t=d$ とすると、隙間が $0$ になって容量は無限大。これは 2 枚の極板が導体でつながった状態、つまり短絡にあたります。

検算のしかた

$t=0$ を入れたとき $C_0$ に戻るかを見ます。戻らなければ式の形が違う。

$t$ を $d$ に近づけたとき、容量が発散するかも確かめます。発散しない式なら、どこかで引き算の向きを間違えています。

電場と電圧の関係でも確かめられる。隙間の電場に $d-t$ を掛けた値が電圧になるはずです。

金属板が入っている図を見たら、板の厚みを消して間隔を縮めた図に描き直す。それだけで、ふつうの平行板の問題に戻ります。

参考