平行な 2 本の電流｜引き合う向きと 1 m あたりの力

$10\mathrm{A}$ ずつ流した 2 本の導線を $10\mathrm{cm}$ 離して並べます。$1\mathrm{m}$ あたり $2.0\times 10^{-4}\mathrm{N}$ で引き合います。

電流の向きが同じなら引力、逆なら斥力^[1]。同じもの2 つが引き合うので、電荷の場合と逆に見えます。

力そのものは新しい法則ではありません。磁場を作る式と、磁場から力を受ける式を続けて使うだけです。

2 段階に分ける

1 本目の電流が、2 本目のいる場所に磁場を作ります^[2]。

$$B_1=\frac{{\mu }_0{I}_1}{2\pi d}$$

その磁場の中に置かれた 2 本目が、長さ $L$ ぶんの力を受けます^[3]。

$$F=I_{2}L{B}_1\sin \theta$$

平行な配置では、電流と磁場が直角に交わるので $\sin \theta =1$。2 つを続けて代入します。

$$\frac{F}{L}=\frac{{\mu }_0{I}_1{I}_2}{2\pi d}$$

向きの決まり方

1 本目が作る磁場は、電流を右手でにぎった指の向きに回ります。2 本目の位置では、2 本を含む面に垂直な向きです。

その磁場の中で 2 本目が受ける力の向きは、電流と磁場の両方に垂直^[3]。手を当てて調べると、1 本目のほうを向きます。

同じ向きに流れていれば引き合い、逆向きなら押し合う^[1]。

見た目は逆ですが、どちらも 2 段階の組み立てから出てきます。覚え方を混ぜないようにしておくと迷いません。

例：10 A ずつ

$\frac{{\mu }_0}{2\pi }=2\times 10^{-7}$ を使って計算します。

$$\frac{F}{L}=2\times 10^{-7}\times \frac{10\times 10}{0.10}=2.0\times 10^{-4}N/m$$

$1\mathrm{m}$ の導線に $2.0\times 10^{-4}\mathrm{N}$。$1\mathrm{g}$ の物体に働く重力の $50$ 分の 1 ほどで、手で感じられる大きさではありません。

電流を $2$ 倍にすると、積が $4$ 倍になるので力も $4$ 倍。片方だけ $2$ 倍なら $2$ 倍です。

例：送電線どうし

高圧送電線には $1000\mathrm{A}$ 級の電流が流れます。$0.50\mathrm{m}$ 離れた 2 本の場合を見ます。

$$\frac{F}{L}=2\times 10^{-7}\times \frac{1000\times 1000}{0.50}=0.40N/m$$

$1\mathrm{m}$ あたり $0.40\mathrm{N}$。$10\mathrm{m}$ の区間なら $4\mathrm{N}$ で、無視できない大きさになります。

短絡事故で電流が $10$ 倍になると、力は $100$ 倍。導体を固定する金具は、この力に耐えるように設計されます。

例：3 本を等間隔に並べる

$0.10\mathrm{m}$ 間隔で 3 本を並べ、すべて同じ向きに $10\mathrm{A}$ を流します。

まん中の導線は、左右から同じ大きさで逆向きに引かれます。合計は $0$。

端の導線はどうか。となりからは $2.0\times 10^{-4}N/m$、いちばん遠い線からは距離が 2 倍なので半分の $1.0\times 10^{-4}N/m$。

どちらも内向きなので足します。

$$\frac{F}{L}=3.0\times 10^{-4}N/m$$

3 本の束は、内側へ締まる向きの力を受ける。電流が大きいと、束ねた導体がつぶれる形になります。

アンペアという単位

$1\mathrm{A}$ ずつを $1\mathrm{m}$ 離すと、力は $2\times 10^{-7}N/m$ になります^[1]。

長らく、この値がアンペアの定義そのものでした。$2\times 10^{-7}$ という切りのよい数が現れるのは、そう決めたからです。

$2019$ 年の単位の改定で、アンペアは電気素量から定義されるようになりました^[4]。${\mu }_0$ のほうが測定で決まる量に変わっています。

高校の計算では ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}$ を使って差し支えありません。ずれは有効数字に現れない大きさです。

例：導線を浮かせる

下に固定した導線の上に、もう 1 本を平行に浮かせます。同じ向きに流せば引き合ってしまうので、逆向きに流して押し上げる形です。

浮かせる導線の $1\mathrm{m}$ あたりの質量を $10\mathrm{g}$ とします。重力は $1\mathrm{m}$ あたり $9.8\times 10^{-2}\mathrm{N}$。

間隔を $1.0\mathrm{cm}$ に保つのに要る電流を出します。

$$2\times 10^{-7}\times \frac{I^2}{0.010}=9.8\times 10^{-2}$$

$$I^2=4.9\times 10^3⟹I=70\mathrm{A}$$

$70\mathrm{A}$ でようやく釣り合いました。電流どうしの力は、それだけ弱いということです。

しかもこの釣り合いは不安定です。少し浮き上がれば力が弱まって落ち、少し沈めば力が強まって跳ね上がる。距離に反比例するためです。

例：正方形の 4 隅に 4 本

一辺 $0.10\mathrm{m}$ の正方形の各頂点に導線を置き、すべて同じ向きに $10\mathrm{A}$ を流します。

1 本が受ける力を数えます。隣の 2 本からはそれぞれ $2.0\times 10^{-4}N/m$ で、向きは直交する 2 方向。

$$\sqrt{2}\times 2.0\times 10^{-4}=2.8\times 10^{-4}N/m$$

向きは正方形の中心へ向かう対角線の方向です。対角にある 1 本からは、距離が $\sqrt{2}$ 倍なので次の値。

$$\frac{2.0\times 10^{-4}}{\sqrt{2}}=1.4\times 10^{-4}N/m$$

こちらも同じ対角線の方向なので、そのまま足せます。合計は $4.2\times 10^{-4}N/m$ で、中心へ向かう向き。

4 本の束は内側へ締まります。3 本のときと同じ向きで、本数が増えるほど強くなる。

単位を確かめる

${\mu }_0$ の単位は $\mathrm{T}\cdot m/A$ です^[1]。式に入れて確かめます。

$$\frac{\mathrm{T}\cdot m/A\times \mathrm{A}\times \mathrm{A}}{\mathrm{m}}=\mathrm{T}\cdot \mathrm{A}$$

$\mathrm{T}\cdot \mathrm{A}=N/m$ になっているかを見ます。$1\mathrm{T}$ は $1\mathrm{A}$ の電流が流れる $1\mathrm{m}$ の導線に $1\mathrm{N}$ の力を与える磁場なので、確かに $\mathrm{T}\cdot \mathrm{A}=N/m$。

単位が合わない答えは、どこかで距離や長さを掛け違えています。

検算のしかた

向きの判定を、2 段階に分けてやり直します。まず 1 本目の磁場の向き、次にその中での力の向き。一度に決めようとすると間違えます。

作用と反作用も確かめられます。2 本が受ける力は、大きさが等しく向きが逆になるはず。式が $I_1{I}_2$ の形で対称なので、自動的にそうなります。

桁の見当も立ちます。$\mathrm{A}$ 級の電流を $\mathrm{cm}$ 級の距離で並べれば $10^{-4}N/m$ の桁。$\mathrm{kA}$ 級になって初めて $\mathrm{N}$ の桁に届きます。

磁場を作る式と、磁場から力を受ける式。2 本をつなぐだけで、平行電流の力は出ます。

参考