レール上の導体棒と誘導電流（速さに比例する制動力）

$0.50\mathrm{T}$ の磁場に置いた $0.20\mathrm{m}$ 幅のレールで、導体棒を $0.20\mathrm{N}$ の力で押し続けます。速さは $2.0m/s$ で頭打ちになります。

いくら押しても、それ以上は速くなりません。速くなるほど電流が増え、押し戻す力が強くなるためです。

棒は自分でブレーキを作っています。しかもその強さが、自分の速さにちょうど比例している。

動く棒に生まれる起電力

磁場の中を横切る導体棒には、速さに比例した起電力が生まれます^[1]。

$$\epsilon =BLv$$

$L$ はレールの間隔、$v$ は棒の速さ。回路の抵抗を $R$ とすれば、流れる電流も出ます。

$$I=\frac{BLv}{R}$$

電流が受ける力

その電流は磁場の中にあるので、力を受けます^[2]。

$$F=IBL=\frac{B^2{L}^{2}v}{R}$$

向きは運動を妨げる側です^[3]。速さ $v$ に比例するので、速くなるほど強くなります。

運動方程式

外から一定の力 $F_0$ で押す場合、棒の運動方程式は次の形です。

$$m\frac{\Delta v}{\Delta t}=F_0-\frac{B^2{L}^2}{R}v$$

右辺の第 2 項が速さとともに育ち、いずれ $F_0$ と等しくなる。そこで加速度が $0$ になります。

$$v_{\text{終}}=\frac{F_{0}R}{B^2{L}^2}$$

例：一定の力で押す

$B=0.50\mathrm{T}$、$L=0.20\mathrm{m}$、$R=0.10\Omega$、$F_0=0.20\mathrm{N}$ とします。

$$v_{\text{終}}=\frac{0.20\times 0.10}{0.50^2\times 0.20^2}=\frac{0.020}{0.010}=2.0m/s$$

そのときの起電力は $0.50\times 0.20\times 2.0=0.20\mathrm{V}$、電流は $2.0\mathrm{A}$。

磁場から受ける力は $2.0\times 0.50\times 0.20=0.20\mathrm{N}$ で、押す力とちょうど等しくなりました。

エネルギーはすべて熱になる

終端速度に達したあとは、運動エネルギーが増えません。外力がした仕事は、どこへ行くのか。

抵抗で消える電力を出します^[1]。

$$P=I^{2}R=2.0^2\times 0.10=0.40\mathrm{W}$$

外力の仕事率も出します。

$$P=F_{0}v=0.20\times 2.0=0.40\mathrm{W}$$

一致しました。押した仕事がそのまま抵抗の熱に変わっています。

例：鉛直レールを落ちる

レールを鉛直に立て、質量 $0.010\mathrm{kg}$ の棒を静かに放します。押す力の代わりに重力が働く形です。

$$v_{\text{終}}=\frac{mgR}{B^2{L}^2}=\frac{0.010\times 9.8\times 0.10}{0.010}=0.98m/s$$

$1m/s$ ほどで一定になります。自由落下なら $0.1$ 秒で届く速さですが、ここから先は増えません。

抵抗を大きくすると終端速度も大きくなる。$R$ が分子にあるためです。回路を切れば電流が流れず、ふつうの自由落下に戻ります。

例：初速を与えて放す

外力なしで、$2.0m/s$ の初速を与えて手を放します。ブレーキだけが働くので減速する。

$$m\frac{\Delta v}{\Delta t}=-\frac{B^2{L}^2}{R}v$$

速さに比例して減るので、指数関数で落ちていきます。時定数は次のとおり。

$$\tau =\frac{mR}{B^2{L}^2}=\frac{0.010\times 0.10}{0.010}=0.10\mathrm{s}$$

$0.10\mathrm{s}$ で速さが 37\ \mathrm{%} まで落ちます。完全に止まるまでには時間がかかりますが、実質的には $0.5\mathrm{s}$ ほどで止まる。

止まるまでに進む距離

減速のあいだに進む距離は、積分しなくても出せます。運動量の変化と力積を結びつけます。

$$m\Delta v=-\frac{B^2{L}^2}{R}\Delta x$$

速さが $v_0$ から $0$ まで落ちるので、次のようになります。

$$x=\frac{m{v}_{0}R}{B^2{L}^2}=\frac{0.010\times 2.0\times 0.10}{0.010}=0.20\mathrm{m}$$

$20\mathrm{cm}$ 進んで止まります。このあいだに出た熱は、はじめの運動エネルギーと同じ $\frac{1}{2}\times 0.010\times 2.0^2=0.020\mathrm{J}$。

例：レールに傾きをつける

$30^{\circ }$ に傾けたレールに、質量 $0.010\mathrm{kg}$ の棒を置きます。磁場はレール面に垂直とします。

斜面方向に働くのは重力の成分 $mg\sin 30^{\circ }=0.049\mathrm{N}$。これがブレーキと釣り合う点が終端速度です。

$$v_{\text{終}}=\frac{mg\sin \theta \cdot R}{B^2{L}^2}=\frac{0.049\times 0.10}{0.010}=0.49m/s$$

鉛直に落とした場合のちょうど半分になりました。$\sin 30^{\circ }=0.5$ がそのまま効いています。

傾きを浅くするほど終端速度は下がる。水平にすれば $0$ で、動き出しません。

例：抵抗を変えて比べる

同じ配置で抵抗だけを $0.10\Omega$ から $0.40\Omega$ へ増やします。

終端速度は $R$ に比例するので $4$ 倍の $3.9m/s$。抵抗を上げるとブレーキが弱くなります。

電流は $I=\frac{BLv}{R}$ で、$v$ が $4$ 倍、$R$ も $4$ 倍なので同じ値のまま。終端では電流が $\frac{mg\sin \theta }{BL}$ になり、抵抗が入りません。

例：磁石の落下との対比

銅パイプの中を磁石が落ちるときも、同じ形の式が働いています。

パイプに生まれる渦の電流が磁石を押し戻し、速さに比例するブレーキになる。終端速度で落ち着く点まで同じです。

違うのは電流の通り道です。レールでは回路が 1 本の輪、パイプでは金属の中に無数の輪ができる。抵抗の値を書き下せないだけで、仕組みは変わりません。

検算のしかた

終端速度を式に戻して、2 つの力が等しくなるかを見ます。ならなければ、どこかで $B$ や $L$ の乗数を落としています。

$B^2{L}^2$ の 2 乗にも気をつけます。起電力で 1 回、力で 1 回、合わせて 2 乗になる形です。

エネルギーの確認も早い。終端速度では $F_{0}v$ と $I^{2}R$ が一致するはずです。

速さから起電力、起電力から電流、電流から力。この 3 段をたどれば、あとはふつうの運動方程式になります。

参考