回転する導体棒の誘導起電力〜1/2 がつく理由

$0.20\mathrm{T}$ の磁場の中で、長さ $0.50\mathrm{m}$ の棒を片端を軸にして毎分 $300$ 回転させます。両端のあいだに $0.79\mathrm{V}$ が生まれます。

先端の速さで計算すると $1.57\mathrm{V}$ になり、倍の値が出てしまいます。棒の場所ごとに速さが違うためです。

答えには $\frac{1}{2}$ が付きます^[1]。

$$\epsilon =\frac{1}{2}B\omega L^2$$

場所ごとに速さが違う

軸から距離 $r$ の点の速さは $v=\omega r$ です。軸の上では $0$、先端でいちばん速い。

まっすぐ動く棒なら、どこも同じ速さでした。回転する棒では、その前提が崩れます。

長さ $\Delta r$ の小さな区間に生まれる起電力は $Bv\Delta r=B\omega r\Delta r$。これを軸から先端まで足し上げます。

平均の速さで考える

積分を使わずに済ませる道もあります。速さが $r$ に比例して直線的に増えるので、平均は先端の半分です。

$$\bar{v}=\frac{0+\omega L}{2}=\frac{\omega L}{2}$$

まっすぐ動く棒の式 $\epsilon =BLv$ に、この平均を入れます。

$$\epsilon =BL\cdot \frac{\omega L}{2}=\frac{1}{2}B\omega L^2$$

同じ式になりました。速さが直線的に変わる場合にかぎり、平均で置きかえられます。

掃く面積で考える

もう 1 つ、磁束の変化率から出す道もあります。

棒が 1 回転すると、半径 $L$ の円をまるごと掃きます。面積は $\pi L^2$、かかる時間は $\frac{2\pi }{\omega }$。

$$\epsilon =\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=\frac{B\pi L^2}{2\pi /\omega }=\frac{1}{2}B\omega L^2$$

$\pi$ が約分で消えて、やはり同じ式です。3 通りのどれで解いても一致します。

例：毎分 300 回転

回転数を角速度に直します。$1$ 分に $300$ 回なので、$1$ 秒に $5$ 回。

$$\omega =2\pi \times 5=31.4rad/s$$

$B=0.20\mathrm{T}$、$L=0.50\mathrm{m}$ を入れます。

$$\epsilon =\frac{1}{2}\times 0.20\times 31.4\times 0.50^2=0.79\mathrm{V}$$

先端の速さは $\omega L=15.7m/s$。これで $BLv$ を計算すると $1.57\mathrm{V}$ になり、倍の値が出ます。

回すのに要るトルク

軸と先端を導線で結び、抵抗 $0.50\Omega$ をつなぎます。流れる電流は $\frac{0.79}{0.50}=1.57\mathrm{A}$。

その電流も磁場の中にあるので、力を受けます。軸からの距離ごとに力のモーメントを足し上げると、起電力のときと同じ形になる。

$$\tau =\frac{1}{2}BI{L}^2=\frac{1}{2}\times 0.20\times 1.57\times 0.25=3.9\times 10^{-2}\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$$

向きは回転を妨げる側です。一定の速さで回し続けるには、外から同じ大きさのトルクを加え続けることになります。

エネルギーは熱になる

外から加えるトルクの仕事率を出します。

$$P=\tau \omega =3.9\times 10^{-2}\times 31.4=1.2\mathrm{W}$$

抵抗で消える電力も出します。

$$P=I^{2}R=1.57^2\times 0.50=1.2\mathrm{W}$$

一致しました。回すのに使った仕事が、そのまま抵抗の熱に変わっています。

例：長さを 2 倍にする

$L$ が 2 乗で効くので、棒を $1.0\mathrm{m}$ に伸ばすと起電力は $4$ 倍の $3.14\mathrm{V}$。

回転数を 2 倍にした場合は $2$ 倍にしかなりません。長さのほうが効きめが大きい。

円板でも同じ式

棒の代わりに金属の円板を回し、中心と縁から電流をとり出す装置もあります。

円板を「無数の棒の集まり」とみなせば、どの棒も同じ起電力を生みます。並列につながった形なので、中心と縁の電位差は棒 1 本のときと変わりません。

$$\epsilon =\frac{1}{2}B\omega L^2$$

$L$ は円板の半径です。並列なので抵抗が小さく、大きな電流をとり出せる点が違います。

検算のしかた

$\frac{1}{2}$ を落としていないかを見ます。先端の速さで計算した値のちょうど半分になるはずです。

回転数の単位も確かめます。毎分の回転数をそのまま $\omega$ に入れると、$60$ 倍と $2\pi$ 倍の両方がずれます。

エネルギーの確認も早い。トルクの仕事率と $I^{2}R$ が一致すれば、途中の計算が合っています。

速さが場所ごとに違うなら、平均をとる。直線的に変わる量なので、平均は先端の半分で済みます。

参考