正方形の 4 隅に置いた点電荷 - 電場と電位の合成

一辺 $0.20\mathrm{m}$ の正方形の 4 隅に $+2.0\mu \mathrm{C}$ を置きます。中心の電場は $0$、電位は $5.1\times 10^5\mathrm{V}$ です。

隣り合う 2 つを負に変えると、今度は逆になる。電場は $2.5\times 10^{6}N/C$ に跳ね上がり、電位のほうが $0$ になります。

同じ配置で、片方が消えてもう片方が残る。電場がベクトル、電位がスカラーだからです。

足し方が違う

点電荷が作る電場と電位は、分母だけが違います^[1]。

$$E=k\frac{|q|}{r^2},V=k\frac{q}{r}$$

電場は向きを持つので、成分に分けて足す。電位は向きを持たないので、符号つきの数値をそのまま足します^[2]。

電位の式に絶対値が付いていない点に注意が向くと、計算が早くなります。負電荷は負の電位を作り、正電荷の作る電位を削っていく。

中心までの距離

一辺 $a$ の正方形なら、対角線は $a\sqrt{2}$。中心は対角線の中点なので、頂点までは $\frac{a}{\sqrt{2}}$ です。

$a=0.20\mathrm{m}$ なら $0.141\mathrm{m}$。2 乗すると $\frac{a^2}{2}=0.020{\mathrm{m}}^2$ で、こちらは根号が消えます。

電場の計算で使うのは $r^2$ だけなので、根号は消えたまま進む。電位では $r$ そのものが要ります。

各頂点の電荷が中心に作る電場の大きさは、どれも同じです。

$$E_1=9.0\times 10^9\times \frac{2.0\times 10^{-6}}{0.020}=9.0\times 10^{5}N/C$$

4 本の矢印は、それぞれ対角線に沿って外向き。向かい合う 2 本が正反対を向くので、対で消えます。

電位のほうは打ち消しようがありません。

$$V=4\times 9.0\times 10^9\times \frac{2.0\times 10^{-6}}{0.141}=5.1\times 10^5\mathrm{V}$$

緑の矢印が 4 本を合成した電場です。薄い矢印は 1 個ずつの寄与を表しています。

例：隣り合う 2 つを負にする

上の 2 隅を $+2.0\mu \mathrm{C}$、下の 2 隅を $-2.0\mu \mathrm{C}$ にします。

正電荷からは離れる向き、負電荷へは近づく向き。4 本とも下向きの成分を持ちます。

左右の成分は対で消える。残るのは下向きの成分だけです。

$$E=4\times 9.0\times 10^5\times \cos 45^{\circ }=2.5\times 10^{6}N/C$$

電位は $2+2-2-2=0$ なので、掛ける前から $0$ と分かります。

例：対角が同符号

左上と右下を正、右上と左下を負にします。

対角どうしの 2 本は正反対を向いて消え、もう 1 組も同じように消える。電場は $0$ です。

電位も $0$。この配置だけは、両方そろって消えます。

符号の配り方は 4 通りしかないのに、結果は $0$ と有限のあいだで組み合わせが変わります。

例：1 つだけ符号を変える

4 つとも正の状態から、左下だけ $-2.0\mu \mathrm{C}$ に変えます。

まともに 4 本足してもよいのですが、差だけを見ると速い。$+2.0$ を $-2.0$ にする操作は、$-4.0\mu \mathrm{C}$ を重ねて置く操作と同じです。

もとの 4 つは $0$ を作っていたので、残るのは重ねたぶんだけ。

$$E=9.0\times 10^9\times \frac{4.0\times 10^{-6}}{0.020}=1.8\times 10^{6}N/C$$

向きは、負電荷にした左下へ向かう向き。電位は $2+2+2-2=4$ にあたる量が残ります。

$$V=9.0\times 10^9\times \frac{4.0\times 10^{-6}}{0.141}=2.5\times 10^5\mathrm{V}$$

この見方は、頂点が 6 個でも 8 個でも通ります。対称な土台があるかどうかだけが条件です。

中心に電荷を置くとどうなるか

中心に $q_0$ を置いたとき、受ける力は $F=q_{0}E$ で出ます。

4 つとも正の配置なら $E=0$ なので、力は働きません。ただし少しでもずれると、押し戻されるのではなく外へ逃げる向きの力が出ます。

位置エネルギーは $U=q_{0}V$ です。$V=5.1\times 10^5\mathrm{V}$ なので、$q_0=+1.0\mu \mathrm{C}$ なら $0.51\mathrm{J}$。

力が $0$ でもエネルギーは残る。この 2 つは別の量です^[3]。

例：正三角形でも同じ手順

頂点が 3 つでも、対称なら同じ結論になります。

一辺 $0.20\mathrm{m}$ の正三角形の 3 頂点に $+2.0\mu \mathrm{C}$ を置きます。中心までの距離は $\frac{a}{\sqrt{3}}=0.115\mathrm{m}$。

3 本の矢印は $120^{\circ }$ ずつずれているので、足すと $0$ になる。正方形での対どうしの打ち消しとは消え方が違いますが、結果は同じです。

$$V=3\times 9.0\times 10^9\times \frac{2.0\times 10^{-6}}{0.115}=4.7\times 10^5\mathrm{V}$$

頂点を増やすと電位は上がる

一辺を $0.20\mathrm{m}$ に固定したまま、頂点の数を増やしてみます。

正六角形では、中心までの距離が一辺と等しくなる。$r=a=0.20\mathrm{m}$ です。

電荷の数が増えるほど電位も上がりますが、距離も伸びるので上がり方はゆるやか。電場のほうは、どれも $0$ のままです。

例：中心から少しずらす

4 つとも正の配置で、中心から右へ $0.02\mathrm{m}$ だけずらした点を考えます。

左の 2 隅は遠くなり、右の 2 隅は近くなる。近いほうの寄与が強くなるので、合成した電場は右向きに残ります。

中心は電場が $0$ の点ですが、安定な位置ではありません。少しずれると、ずれた向きへさらに押し出される。

正電荷だけで囲んだ内側に、正電荷を静かに留めておける点は作れない。電場が $0$ という条件だけでは、そこに留まる保証になりません。

単位はどちらも同じものを見ている

電場の単位は $N/C$、電位の単位は $\mathrm{V}$ です。$\mathrm{V}=J/C$ なので、$V/m$ は $N/C$ と一致します。

電場は $V/m$ とも書ける。電位が距離あたりどれだけ変わるかが電場、という関係になっているためです^[2]。

一様な電場なら $E=\frac{V}{d}$ の形で結べます。今回のように場所ごとに向きが変わる配置では、この単純な式は使えません。

検算のしかた

対称性の確認が最も早い。中心を通る軸で配置を折り返したとき、正負の並びまで同じに重なれば、その軸に垂直な成分は $0$ です。

電位の検算は符号の合計を見るだけ。正電荷と負電荷が同じ量なら、中心の電位は必ず $0$ になります。距離がそろっているためです。

数値の桁も見ておきます。$kq/r^2$ の $r^2$ に $0.020$ を入れるところを $0.141$ で割ってしまうと、答えが 7 倍ずれる。

電場は矢印を描いてから足し、電位は符号を並べて足す。どちらを聞かれているかで手順が変わります。

参考