電球の特性曲線と負荷直線で非線形の抵抗を扱う

$6\mathrm{V}$ の電源に $10\Omega$ の抵抗と豆電球を直列につなぎます。電球に掛かる電圧は $2.0\mathrm{V}$、流れる電流は $0.40\mathrm{A}$ です。

電球の抵抗値は $5.0\Omega$ にあたりますが、この値を先に知ることはできません。電流が決まってはじめて抵抗が決まるためです。

答えを出すのはグラフです。電球の特性曲線と、回路が決める直線。2 本の交点が動作点になります。

電球の抵抗は一定ではない

金属の抵抗率は温度とともに上がります^[1]。フィラメントは電流が流れると数千度まで熱くなるので、抵抗も大きく変わる。

電圧を上げれば電流は増えますが、比例はしません。電流が増えるほどフィラメントが熱くなり、抵抗が上がって伸びを抑えるためです。

オームの法則にしたがう素子をオーム性、したがわない素子を非オーム性といいます^[2]。電球は後者です。

特性曲線を読む

電球の振る舞いは、実測した $V$ と $I$ の組を並べた曲線で表します。

同じ電球なのに、抵抗が $3.5\Omega$ から $8.7\Omega$ まで動いています。どの値を使うかは、動作点が決まってからでないと言えません。

回路の側は直線になる

電球に掛かる電圧を $V$、流れる電流を $I$ とします。直列の抵抗が $R$、電源が $E$ なら、電圧の関係は次のとおり^[3]。

$$E=V+IR$$

$I$ について解きます。

$$I=\frac{E-V}{R}=-\frac{1}{R}V+\frac{E}{R}$$

$V$ の 1 次式なので、グラフでは直線です。これを負荷直線といいます。

切片は分かりやすい。$V=0$ のとき $I=\frac{E}{R}$、$I=0$ のとき $V=E$。この 2 点を結ぶだけで引けます。

例：6 V と 10 Ω

切片は $\left(0,0.60\right)$ と $\left(6,0\right)$ です。この 2 点を結んだ直線を、特性曲線に重ねます。

交点は $V=2.0\mathrm{V}$、$I=0.40\mathrm{A}$。これが動作点です。

確かめます。抵抗に掛かる電圧は $0.40\times 10=4.0\mathrm{V}$。電球の $2.0\mathrm{V}$ と足して $6.0\mathrm{V}$ になり、電源の値と一致しました。

動作点での抵抗値

交点が決まれば、そこでの抵抗値も出せます。

$$R_{\text{電球}}=\frac{V}{I}=\frac{2.0}{0.40}=5.0\Omega$$

この $5.0\Omega$ は、この動作点でしか使えない値です。電源を変えれば別の値になります。

電力も同じように読めます^[3]。

$$P=VI=2.0\times 0.40=0.80\mathrm{W}$$

抵抗のほうは $4.0\times 0.40=1.6\mathrm{W}$。合わせて $2.4\mathrm{W}$ で、電源が出す $6.0\times 0.40$ と一致します。

例：直列抵抗を 5 Ω に下げる

切片が $\left(0,1.2\right)$ に上がり、直線が立ちます。交点は右上へ移る。

グラフから読むと、およそ $V=3.4\mathrm{V}$、$I=0.52\mathrm{A}$ です。

電球の抵抗は $\frac{3.4}{0.52}=6.5\Omega$ に上がりました。$5.0\Omega$ のままではありません。

抵抗を半分にしたのに、電流は $0.40$ から $0.52$ へ 3 割しか増えていない。電球が抵抗を増やして押し戻しています。

例：電球 2 個を直列に

$6\mathrm{V}$ に電球 2 個だけをつなぎます。直列の抵抗はありません。

2 個は同じ電球なので、$3.0\mathrm{V}$ ずつ分け合う。特性曲線から $3.0\mathrm{V}$ での電流を読むと $0.49\mathrm{A}$ です。

電球 1 個だけを $6\mathrm{V}$ につないだ場合は $0.69\mathrm{A}$。2 個にしても、電流は半分の $0.35\mathrm{A}$ にはなりません。

電圧が下がるとフィラメントの温度も下がり、抵抗が小さくなる。そのぶん電流が余分に流れます。

例：電源電圧を下げる

$R=10\Omega$ のまま、電源を $3\mathrm{V}$ に下げます。負荷直線は傾きを変えずに、原点側へ平行移動する。

切片は $\left(0,0.30\right)$ と $\left(3,0\right)$ です。交点をグラフから読むと、およそ $V=0.68\mathrm{V}$、$I=0.23\mathrm{A}$。

電源を半分にしたのに、電球の電圧は $2.0$ から $0.68$ へ 3 分の 1 まで落ちました。曲線の原点付近が急なので、こちら側では電球の抵抗が小さく、電圧の分け前が減ります。

電球が暗くなるときは、この効き方が働いています。電圧をわずかに下げただけで、明るさが目に見えて落ちる。

ダイオードでも手順は同じ

非オーム性の代表がもう 1 つあります。ダイオードは、順方向の電圧が $0.7\mathrm{V}$ ほどを超えるまでほとんど電流を流しません^[2]。

超えたあとは、電圧がほぼ $0.7\mathrm{V}$ に留まったまま電流だけが増えます。曲線がほぼ垂直に立つ形です。

$5\mathrm{V}$ の電源に $100\Omega$ とダイオードを直列につないだ場合を考えます。ダイオードの電圧を $0.7\mathrm{V}$ とみなせば、残りが抵抗に掛かる。

$$I=\frac{5.0-0.7}{100}=43\mathrm{mA}$$

曲線が立っているぶん、交点の位置は電圧側でほとんど動きません。電流のほうは直列抵抗が決めます。

検算のしかた

交点の座標を、両方の式に入れて確かめます。特性曲線の上にあり、なおかつ $E=V+IR$ を満たすはず。

電圧の合計も見ます。電球の電圧と抵抗の電圧を足して、電源の値に戻るか。合わなければ交点の読み間違いです。

範囲の確認も要ります。電球の電圧は $0$ より大きく $E$ より小さい。負荷直線の 2 つの切片のあいだに必ず入ります。

曲線と直線を 1 枚に重ねて、交点を読む。式で解けない相手でも、この手順なら電圧も電流も抵抗も一度に決まります。

参考