一直線に並ぶ 3 電荷とクーロンの法則（合力の求め方）

$+2.0\mu \mathrm{C}$ を $20\mathrm{cm}$ 離して 2 個置き、そのまん中に $+3.0\mu \mathrm{C}$ を置きます。まん中が受ける力は $0$ です。

右側だけを $-2.0\mu \mathrm{C}$ に入れ替えると $10.8\mathrm{N}$ になる。符号を 1 つ変えただけで、$0$ が最大値に変わりました。

一直線に並んだ 3 個の電荷は、力を 1 本ずつ出して向きをそろえて足すだけで片づきます。

力は 1 本ずつ出して足す

クーロンの法則が与えるのは、電荷 2 個のあいだに働く力です^[1]。

$$F=k\frac{|q_1{q}_2|}{r^2},k=9.0\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$$

電荷が 3 個あるときは、この式を 2 回使う。まん中の電荷が受ける力は、左の電荷から受ける 1 本と、右の電荷から受ける 1 本の合成です。

3 個目がいるからといって、他の 2 個のあいだの力が変わることはありません。これを重ね合わせの原理といいます^[2,3]。

自然界の力がすべてこう振る舞うわけではないので、当たり前ではない性質です。クーロン力については実験でよく確かめられています^[3]。

矢印の長さはどちらも同じです。変わるのは向きだけで、それが合力を $0$ にも $10.8\mathrm{N}$ にもします。

符号は向きにだけ使う

計算でつまずくのは、電荷の符号を式にそのまま入れてしまうときです。

クーロンの法則の分子は $|q_1{q}_2|$ で、絶対値が入ります。マイナスを代入して負の力を出しても、その符号は一直線上の左右と対応しません。

手順を分けておくと崩れない。

向きを決めるのは、相手がどちら側にいるかと、符号の組み合わせの 2 つだけです。

反発なら相手から遠ざかる向き、引力なら相手に近づく向き。この対応さえ守れば、あとは足し算になります。

例：両端が同じ電荷なら打ち消す

$x=-0.10\mathrm{m}$ に $+2.0\mu \mathrm{C}$、原点に $+3.0\mu \mathrm{C}$、$x=+0.10\mathrm{m}$ に $+2.0\mu \mathrm{C}$ を置きます。

左の電荷が原点の電荷に及ぼす力の大きさは、次のとおり。

$$F=9.0\times 10^9\times \frac{2.0\times 10^{-6}\times 3.0\times 10^{-6}}{(0.10{)}^2}=5.4\mathrm{N}$$

同符号なので反発で、向きは右。右の電荷からも同じ大きさの力を受けますが、そちらは左向きです。

$$5.4-5.4=0$$

対称な配置なので、計算する前から $0$ だと分かります。左右で電荷も距離も同じなら、力は必ず釣り合う。

例：片方の符号を変えると足し算になる

右の電荷だけを $-2.0\mu \mathrm{C}$ に変えます。大きさは変わらないので $5.4\mathrm{N}$ のままです。

変わるのは向きだけ。異符号になったので引力で、原点の電荷は右へ引かれます。

$$5.4+5.4=10.8\mathrm{N}$$

左からの反発も右向きなので、2 本がそろって右を向きました。

大きさの計算をどれだけ丁寧にやっても、この向きの判断を間違えると答えは $0$ と $10.8\mathrm{N}$ のあいだで振れます。

例：距離が違っても打ち消せる

左右で電荷の大きさが違っても、距離を調節すれば釣り合います。

$x=-0.10\mathrm{m}$ に $+2.0\mu \mathrm{C}$、原点に $+3.0\mu \mathrm{C}$、$x=+0.20\mathrm{m}$ に $+8.0\mu \mathrm{C}$ とします。

右の電荷は 4 倍ですが、距離が 2 倍あります。

$$9.0\times 10^9\times \frac{8.0\times 10^{-6}\times 3.0\times 10^{-6}}{(0.20{)}^2}=5.4\mathrm{N}$$

こちらも $5.4\mathrm{N}$ でした。電荷が 4 倍になっても、距離が 2 倍なら $2^2=4$ で割られて元に戻る。

電荷の比が距離の比の 2 乗と等しければ、まん中の電荷は動きません。

まん中の電荷は向きを反転させるだけ

原点の電荷を $-3.0\mu \mathrm{C}$ に変えても、釣り合いは崩れません。

左の電荷とのあいだは引力に変わり、原点の電荷は左へ引かれる。右の電荷とのあいだも引力になって、今度は右へ引かれます。

2 本とも向きが反対になっただけで、大きさは変わらない。合力は $0$ のままです。

つまり釣り合いの条件に、まん中の電荷は出てきません。両端の電荷と距離だけで決まります。

例：端の電荷が受ける力

まん中だけでなく、端の電荷が受ける力も同じ手順で出せます。

$x=0$ に $+1.0\mu \mathrm{C}$、$x=0.10\mathrm{m}$ に $+4.0\mu \mathrm{C}$、$x=0.20\mathrm{m}$ に $+9.0\mu \mathrm{C}$ とします。

左端の電荷は、となりからも遠くからも押されます。どちらも左向き。

$$9.0\times 10^9\times \frac{1.0\times 10^{-6}\times 4.0\times 10^{-6}}{(0.10{)}^2}=3.6\mathrm{N}$$

$$9.0\times 10^9\times \frac{1.0\times 10^{-6}\times 9.0\times 10^{-6}}{(0.20{)}^2}=2.0\mathrm{N}$$

合わせて $5.6\mathrm{N}$ で、向きは左。端の電荷は、すべて同符号なら必ず外向きに押されます。

まん中の電荷はどうか。左から $3.6\mathrm{N}$ で右へ押され、右からは次の力で左へ押されます。

$$9.0\times 10^9\times \frac{9.0\times 10^{-6}\times 4.0\times 10^{-6}}{(0.10{)}^2}=32.4\mathrm{N}$$

差し引き $28.8\mathrm{N}$ で左向き。大きいほうへ引き寄せられるのではなく、大きいほうから逃げる向きになります。

3 つの合力を全部足すと $0$ になります。$-5.6-28.8+34.4=0$ で、系全体には外から力が働いていない。

距離が 2 倍なら力は 4 分の 1

分母が $r^2$ なので、距離の効き方は電荷の効き方より急です。

電荷を 2 倍にすれば力も 2 倍。距離を 2 倍にすると力は $\frac{1}{4}$ になります。

一直線の問題では、この差が結果をひっくり返します。電荷が大きいほうが強いとは限らない。

グラフが左端で立ち上がる形が $r^2$ の効き方です。近づけるほど、わずかな差が大きな違いになります。

検算のしかた

出した合力が正しいかどうかは、極端な場合に戻すと分かります。

片方の電荷を $0$ にすれば、残った 1 本だけの力になるはず。両端をそっくり入れ替えれば、合力の向きだけが反転するはずです。

対称な配置に戻して $0$ になるかを見るのも早い。左右で電荷も距離も同じにしたとき、答えの式が $0$ にならなければ、途中で符号をとり違えています。

単位のとり違えはとくに多い。$\mu \mathrm{C}$ は $10^{-6}\mathrm{C}$ で、掛け算では $10^{-12}$ になります。

大きさは絶対値で、向きは配置で。この 2 段に分けておけば、電荷が何個並んでも同じ手順で答えが出ます。

参考