静電気の位置エネルギー（電荷の対ごとに足し上げる）

一辺 $0.30\mathrm{m}$ の正三角形の頂点に $+2.0\mu \mathrm{C}$ を 3 個そろえるには、$0.36\mathrm{J}$ の仕事が要ります。

1 個目は $0$、2 個目は $0.12\mathrm{J}$、3 個目は $0.24\mathrm{J}$。運ぶ順に増えていって、合計が $0.36\mathrm{J}$ になります。

同じ値が、対を数えるだけでも出ます。3 個の電荷が作る対は 3 つ。1 対あたり $0.12\mathrm{J}$ です。

2 個のときの位置エネルギー

無限に離れた 2 個の電荷を、距離 $r$ まで近づけるのに要る仕事が位置エネルギーです^[1]。

$$U=k\frac{q_1{q}_2}{r}$$

電場や力の式と違い、絶対値が付きません。符号をそのまま代入します。

同符号なら正で、近づけるのに外から仕事が要る。異符号なら負で、放っておいても勝手に近づきます。

分母が $r$ の 1 乗になっている点も違います。力の式は $r^2$ でした。

対の数だけ足す

電荷が 3 個以上あるときは、作れる対をすべて数えて足します^[1,2]。

$$U=k\sum _{i<j}\frac{q_i{q}_j}{r_{ij}}$$

$i<j$ と書いてあるのは、同じ対を 2 回数えないためです。$q_1$ と $q_2$ の対と、$q_2$ と $q_1$ の対は同じもの。

対の数は組み合わせで決まります。

個数が増えると、対の数はその 2 乗に近い速さで増える。$10$ 個なら $45$ 対です。

例：正三角形の 3 頂点

一辺 $0.30\mathrm{m}$、電荷はすべて $+2.0\mu \mathrm{C}$ とします。

1 対あたりの値を出します。

$$U_1=9.0\times 10^9\times \frac{(2.0\times 10^{-6}{)}^2}{0.30}=0.12\mathrm{J}$$

3 対とも同じ距離なので、$3$ 倍して $0.36\mathrm{J}$。

順に運んでくる

対を数える方法と、1 個ずつ運ぶ方法は同じ答えを出します^[2]。

1 個目を運ぶとき、まわりには何もありません。仕事は $0$。

2 個目を運ぶとき、相手は 1 個。$0.12\mathrm{J}$ が要ります。

3 個目を運ぶとき、相手は 2 個。$0.24\mathrm{J}$ です。

足すと $0+0.12+0.24=0.36\mathrm{J}$。$n$ 個目を運ぶときの相手は $n-1$ 個なので、合計は $0+1+2+\cdots$ という数え方になります。

線が 1 本増えるたびに、その本数ぶんの仕事が積み上がります。線の数がそのまま対の数です。

例：正方形の 4 隅

一辺 $0.30\mathrm{m}$ の正方形に $+2.0\mu \mathrm{C}$ を 4 個。対は 6 つですが、距離が 2 種類あります。

辺でつながる対が 4 つで、距離は $0.30\mathrm{m}$。対角線でつながる対が 2 つで、距離は $0.30\sqrt{2}=0.424\mathrm{m}$。

$$U=4\times 0.12+2\times \frac{0.12}{\sqrt{2}}=0.48+0.17=0.65\mathrm{J}$$

対角線の対は距離が $\sqrt{2}$ 倍なので、寄与は $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍。数えるだけでなく、距離で仕分ける手間が入ります。

例：符号が混ざると負になる

同じ正方形で、対角どうしを同符号にします。左上と右下が $+2.0\mu \mathrm{C}$、右上と左下が $-2.0\mu \mathrm{C}$。

辺でつながる 4 対はすべて異符号なので、負の寄与。対角線の 2 対は同符号で、正の寄与です。

$$U=-4\times 0.12+2\times \frac{0.12}{\sqrt{2}}=-0.48+0.17=-0.31\mathrm{J}$$

負になりました。この配置を作るのに仕事は要らず、逆に $0.31\mathrm{J}$ だけエネルギーが出てきます。

ばらばらにするには、外から $0.31\mathrm{J}$ を与えなければならない。負の位置エネルギーは、束縛されている状態を表します。

例：1 個を無限遠へ運ぶ

正三角形の配置に戻り、頂点の 1 つを無限に遠くへ持っていきます。

その電荷が関わっていた 2 つの対が消えます。残るのは 1 対だけ。

$$\Delta U=0.12-0.36=-0.24\mathrm{J}$$

位置エネルギーが減るので、外から仕事を加える必要はありません。逆に $0.24\mathrm{J}$ が運動エネルギーとして出てきます。

同符号どうしは離れたがる。手を放せば、そのエネルギーぶんだけ加速して飛んでいきます。

例：重心に 1 個足す

正三角形の重心に $+2.0\mu \mathrm{C}$ をもう 1 個運びます。

重心から頂点までは $\frac{a}{\sqrt{3}}=0.173\mathrm{m}$。新しくできる対は 3 つで、どれも同じ距離です。

$$\Delta U=3\times 9.0\times 10^9\times \frac{(2.0\times 10^{-6}{)}^2}{0.173}=0.62\mathrm{J}$$

全体では $0.36+0.62=0.98\mathrm{J}$ になりました。中心は 3 つの電荷すべてに近いので、1 個ぶんとしては最も高くつく場所です。

電位で書き直す

対を数える代わりに、各電荷の場所の電位を使う書き方もあります^[2]。

$$U=\frac{1}{2}\sum _i{q}_i{V}_i$$

$V_i$ は、$q_i$ 自身を除いた残りの電荷が $q_i$ の位置に作る電位です。前に $\frac{1}{2}$ が付くのは、この足し方だと各対を 2 回数えてしまうため。

正三角形で試します。1 つの頂点には、残り 2 個からの電位が届いています。

$$V=2\times 9.0\times 10^9\times \frac{2.0\times 10^{-6}}{0.30}=1.2\times 10^5\mathrm{V}$$

$qV=2.0\times 10^{-6}\times 1.2\times 10^5=0.24\mathrm{J}$ で、3 頂点ぶんは $0.72\mathrm{J}$。半分にして $0.36\mathrm{J}$ です。

対を数える方法と一致しました。電荷の数が多いときは、こちらのほうが手数が少なくなります。

例：1 個だけ動かす仕事

正方形の 4 隅に $+2.0\mu \mathrm{C}$ を置いた状態から、1 個を正方形の中心へ動かします。

動かす電荷が関わる対だけを見ればよく、残り 3 個どうしの対は変わりません。

動かす前は、辺でつながる 2 対が $0.12\mathrm{J}$ ずつ、対角線の 1 対が $0.085\mathrm{J}$。合わせて $0.32\mathrm{J}$ です。

動かしたあとは、中心から 3 頂点までがどれも $\frac{0.30}{\sqrt{2}}=0.212\mathrm{m}$。

$$3\times 9.0\times 10^9\times \frac{(2.0\times 10^{-6}{)}^2}{0.212}=0.51\mathrm{J}$$

差は $0.51-0.32=0.19\mathrm{J}$。中心へ押し込むには、これだけの仕事が要ります。

同符号の中へ割り込む形なので、エネルギーは上がる。動かさない 3 個の対を計算に入れずに済むところが、この解き方の利点です。

経路は関係ない

運ぶ道すじをどう選んでも、必要な仕事は変わりません^[3]。

まっすぐ運んでも、大回りしても、いったん遠ざけてから戻しても同じ。静電気力が保存力だからです。

だから「1 個ずつ順に運ぶ」という都合のよい道順で計算してよく、答えは対を数えた値と一致します。

検算のしかた

符号の見当をまず立てます。同符号ばかりなら正、異符号ばかりなら負。混ざっている場合は、距離の近い対がどちらかで決まります。

対の数え落としもよく起きます。$n$ 個なら ${}_n{\mathrm{C}}_2$ 個あるはずなので、足した項の数を数えて確かめる。

けたの確認も要ります。$\mu \mathrm{C}$ どうしの積は $10^{-12}$。$k$ の $10^9$ と合わせて $10^{-3}$ の位から始まります。

対を数え、距離で仕分け、符号をそのまま掛ける。この 3 手で、電荷が何個並んでも位置エネルギーが出ます。

参考文献