直列と並列が混ざったコンデンサー回路｜電圧の分かれ方

$2\mu \mathrm{F}$ と $3\mu \mathrm{F}$ を直列にして $100\mathrm{V}$ を掛けます。小さいほうに $60\mathrm{V}$、大きいほうに $40\mathrm{V}$ が掛かります。

容量が小さいコンデンサーほど、電圧を多く受け持つ。抵抗の直列とは逆向きの分かれ方です。

合成容量を出して終わりにせず、そこから各素子の電圧と電荷へ戻す。この往復が計算の本体になります。

何が共通かで分ける

直列と並列を見分ける手がかりは、共通になる量です^[1]。

直列につないだコンデンサーは、あいだの極板が外とつながっていません。孤立した部分に現れる電荷は必ず同じ量になるので、電荷が共通です。

並列は両端が同じ 2 点につながっているので、電圧が共通。

直列は電圧が反比例で分かれる

直列では電荷 $Q$ が共通なので、各素子の電圧は $V_i=\frac{Q}{C_i}$ です。

$C$ が分母にあるため、容量の小さい素子ほど電圧が大きくなります。

2 つの場合は、分配の式に直せます。

$$V_1=\frac{C_2}{C_1+C_2}V,V_2=\frac{C_1}{C_1+C_2}V$$

自分の容量ではなく相手の容量が分子に来る。ここが抵抗の分圧と逆になる点です。

例：2 μF と 3 μF の直列

合成容量から出します。

$$\frac{1}{C}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}⟹C=1.2\mu \mathrm{F}$$

$100\mathrm{V}$ を掛けたときの電荷は $Q=1.2\times 10^{-6}\times 100=1.2\times 10^{-4}\mathrm{C}$。

この $120\mu \mathrm{C}$ が両方に共通です。あとは割り算だけ。

$$V_1=\frac{1.2\times 10^{-4}}{2\times 10^{-6}}=60\mathrm{V},V_2=\frac{1.2\times 10^{-4}}{3\times 10^{-6}}=40\mathrm{V}$$

足して $100\mathrm{V}$。合成容量が小さいほうの値 $2\mu \mathrm{F}$ より小さくなっている点も、直列の目印です。

並列は電荷が比例で分かれる

並列では電圧が共通なので、電荷は $Q_i=C_{i}V$ です。容量に比例して素直に分かれます。

$2\mu \mathrm{F}$ と $3\mu \mathrm{F}$ を並列にして $100\mathrm{V}$ を掛ければ、$200\mu \mathrm{C}$ と $300\mu \mathrm{C}$。合計 $500\mu \mathrm{C}$ で、合成容量 $5\mu \mathrm{F}$ と合います。

例：直列と並列が混ざる回路

$2\mu \mathrm{F}$ と $3\mu \mathrm{F}$ の直列に、$5\mu \mathrm{F}$ を並列でつなぎます。電源は $100\mathrm{V}$。

直列の組はさきほどの $1.2\mu \mathrm{F}$。これと $5\mu \mathrm{F}$ が並列なので、全体は $6.2\mu \mathrm{F}$ です。

全体の電荷は $6.2\times 10^{-6}\times 100=620\mu \mathrm{C}$。

ここから戻します。$5\mu \mathrm{F}$ には電源の $100\mathrm{V}$ がそのまま掛かるので、$500\mu \mathrm{C}$。

直列の組には $120\mu \mathrm{C}$ が流れ込み、$60\mathrm{V}$ と $40\mathrm{V}$ に分かれます。$500+120=620$ で合いました。

$C_1$ を小さくしていくと、電圧が $C_1$ の側へ集まっていきます。同時に共通の電荷が減るので、$C_2$ の電圧は下がる。

例：3 つの直列

$1\mu \mathrm{F}$、$2\mu \mathrm{F}$、$3\mu \mathrm{F}$ を直列にして $100\mathrm{V}$ を掛けます。

$$\frac{1}{C}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}⟹C=0.545\mu \mathrm{F}$$

共通の電荷は $54.5\mu \mathrm{C}$ です。

合計は $100\mathrm{V}$。電圧の比が $1:\frac{1}{2}:\frac{1}{3}$、つまり $6:3:2$ になっています。

例：並列の組を直列につなぐ

順番を入れかえた回路も見ます。$3\mu \mathrm{F}$ と $5\mu \mathrm{F}$ を並列にした組に、$2\mu \mathrm{F}$ を直列でつなぐ形です。

並列の組は $3+5=8\mu \mathrm{F}$。これと $2\mu \mathrm{F}$ の直列なので、全体は次のとおり。

$$\frac{1}{C}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=\frac{5}{8}⟹C=1.6\mu \mathrm{F}$$

$100\mathrm{V}$ での電荷は $160\mu \mathrm{C}$。直列の関係なので、この電荷が $2\mu \mathrm{F}$ と並列の組の両方を通ります。

$$V_1=\frac{160}{2}=80\mathrm{V},V_{\text{並列}}=\frac{160}{8}=20\mathrm{V}$$

並列の組に掛かる $20\mathrm{V}$ を、$3\mu \mathrm{F}$ と $5\mu \mathrm{F}$ に配ります。$60\mu \mathrm{C}$ と $100\mu \mathrm{C}$ で、合計は $160\mu \mathrm{C}$。

内側の組から外へ出た電荷が、そのまま直列側の電荷になっている。ここが確かめの手がかりになります。

例：同じものを n 個つなぐ

同じ容量 $C$ を $n$ 個直列にすると、合成は $\frac{C}{n}$ になります。

電圧は等分されるので、1 個あたりの負担は $\frac{V}{n}$。容量がそろっている場合にかぎり、耐圧が $n$ 倍まで伸びます。

$1\mu \mathrm{F}$ で耐圧 $50\mathrm{V}$ のものを 4 個直列にすれば、$0.25\mu \mathrm{F}$ で耐圧 $200\mathrm{V}$。容量を犠牲にして耐圧を稼ぐ使い方です。

並列なら逆で、容量は $nC$、耐圧は $50\mathrm{V}$ のまま。増やしたい量に応じてつなぎ方を選びます。

耐圧は小さい容量で決まる

耐圧 $50\mathrm{V}$ の $2\mu \mathrm{F}$ と $3\mu \mathrm{F}$ を直列にします。全体で何ボルトまで掛けられるか。

$2\mu \mathrm{F}$ 側が受け持つのは $0.6V$、$3\mu \mathrm{F}$ 側が $0.4V$ です。

先に上限へ届くのは $2\mu \mathrm{F}$ 側。$0.6V\le 50$ から $V\le 83\mathrm{V}$ となります。

直列にすれば耐圧が足し算で増える、と考えると危ない。容量がそろっていない場合は、小さいほうに電圧が集まって先に壊れます。

検算のしかた

直列の合成容量は、いちばん小さい素子より必ず小さくなります。大きい値が出たら、逆数をとり違えている。

並列の合成容量は、いちばん大きい素子より必ず大きい。この 2 つを覚えておくと、式を書いた直後に見当が付きます。

戻したあとの検算も要ります。直列なら電圧の合計が電源の値に、並列なら電荷の合計が全体の電荷に戻るかを見ます。

共通になる量を先に決め、合成容量で全体を出し、共通量を配って戻す。この往復の形は、素子が何個に増えても変わりません。

参考