交流の力率と消費電力：有効電力と皮相電力

$100\mathrm{V}$ の交流に $2.0\mathrm{A}$ が流れています。掛け算すれば $200\mathrm{W}$ ですが、実際に消費されているのは $120\mathrm{W}$ です。

差の $80$ は、どこかで失われているわけではありません。行って戻ってきているだけです^[1]。

交流では、電圧と電流の山がずれます。そのずれの分だけ、掛け算の値が目減りする。

平均の電力

交流の消費電力は、実効値の積に $\cos \varphi$ を掛けた値になります^[1]。

$$P=I_{\mathrm{rms}}{V}_{\mathrm{rms}}\cos \varphi$$

$\varphi$ は電圧と電流の位相のずれで、$\cos \varphi$ を力率といいます。

抵抗だけの回路ではずれが $0$ なので $\cos \varphi =1$。掛け算がそのまま消費電力になります。

コイルとコンデンサーは熱を出さない

純粋なコイルでは電流が電圧より $90^{\circ }$ 遅れ、純粋なコンデンサーでは $90^{\circ }$ 進みます。

どちらも $\cos (\pm 90^{\circ })=0$ なので、平均の電力は $0$ です^[1]。

半周期のあいだにエネルギーを受けとり、次の半周期でそっくり返す。差し引きで何も消費していません。

例：抵抗とコイルの直列

$R=30\Omega$ と、リアクタンス $X_L=40\Omega$ のコイルを直列にし、$100\mathrm{V}$ を掛けます。

合成のインピーダンスは、直角三角形の斜辺として出ます。

$$Z=\sqrt{R^2+X_L^2}=\sqrt{30^2+40^2}=50\Omega$$

電流は $\frac{100}{50}=2.0\mathrm{A}$。力率はインピーダンスの比で決まります。

$$\cos \varphi =\frac{R}{Z}=\frac{30}{50}=0.60$$

$$P=100\times 2.0\times 0.60=120\mathrm{W}$$

抵抗で消える電力と一致する

別の道からも確かめられます。熱になるのは抵抗だけなので、そこでの消費を出します^[3]。

$$P=I^{2}R=2.0^2\times 30=120\mathrm{W}$$

同じ値でした。$I_{\mathrm{rms}}{V}_{\mathrm{rms}}\cos \varphi$ と $I^{2}R$ は、いつも一致します。

コイルのほうも計算してみます。$I^2{X}_L=4\times 40=160$ ですが、これは熱になりません。行き来しているだけの量です。

見かけの電力は $200$ で、$120$ と $160$ の直角三角形の斜辺になっています。$\sqrt{120^2+160^2}=200$。

力率が低いと送る側が損をする

消費側が $120\mathrm{W}$ しか使わなくても、線には $2.0\mathrm{A}$ が流れます。

力率が $1$ なら、同じ $120\mathrm{W}$ を $1.2\mathrm{A}$ で送れる。線の損失は電流の 2 乗で効くので、差が大きくなります^[2]。

送電線の抵抗を $1.0\Omega$ とします。

$$2.0^2\times 1.0=4.0\mathrm{W},1.2^2\times 1.0=1.44\mathrm{W}$$

$2.8$ 倍の損失です。使う側は同じ電力しか受けとっていないのに、途中で捨てる量が増えている。

力率を上げる

コイル性の負荷にコンデンサーを組み合わせると、位相のずれを打ち消せます。

直列の場合、$X_C=X_L$ にすればリアクタンスが消えて $Z=R$。力率は $1$ になります。

工場のモーターはコイル性なので、コンデンサーを並列に足して力率を改善する形がよく使われます。

例：力率が 0 に近い場合

$R=10\Omega$、$X_L=100\Omega$ とします。$Z=\sqrt{100+10000}=100.5\Omega$ で、力率は $0.0995$。

$100\mathrm{V}$ を掛ければ電流は $1.0\mathrm{A}$ 流れますが、消費電力は $10\mathrm{W}$ しかありません。

見かけ上は $100$ の負荷に見えて、実際に使っているのは $10\mathrm{W}$。線には $1.0\mathrm{A}$ がそのまま流れ続けます。

送る側から見れば、ほとんど何も届けていないのに線を占有されている状態です。

検算のしかた

$\cos \varphi$ が $0$ から $1$ のあいだに入るかを見ます。外れたら $R$ と $Z$ をとり違えています。

2 通りの式で計算して一致するかも確かめます。$I_{\mathrm{rms}}{V}_{\mathrm{rms}}\cos \varphi$ と $I^{2}R$ です。

インピーダンスの三角形も確かめられる。$R^2+X^2=Z^2$ が成り立っていれば、途中の計算が合っています。

熱にするのは抵抗だけ。この 1 点を押さえれば、$\cos \varphi$ が何を削っているかが見えてきます。

参考