帯電した金属球の電場と電位：内側と外側のグラフ

半径 $0.10\mathrm{m}$ の金属球に $2.0\times 10^{-8}\mathrm{C}$ を与えます。表面の電位は $1800\mathrm{V}$ で、中心も $1800\mathrm{V}$ です。

電場のほうは、中がどこでも $0$。表面のすぐ外側で $18000V/m$ に跳ね上がります。

同じ場所で、電場は飛び、電位は折れるだけ。この違いがグラフの形を分けます。

導体の中は電場が 0

金属の中に電場が残っていると、自由電子が力を受けて動き続けます。静電気の状態では動きが止まっているので、中の電場は $0$^[1]。

表面に付いた電荷が、内部でちょうど打ち消し合う配置に落ち着いた結果です。

中空の球でも同じ。中に空洞があっても、そこに電荷を置かないかぎり電場は $0$ になります^[1]。

外は点電荷と同じ

球の外側では、電荷がすべて中心に集まっているかのように見えます^[1,2]。

$$E=k\frac{Q}{r^2},V=k\frac{Q}{r}(r\ge R)$$

対称性が高いので、外から見るかぎり球の大きさは関係ありません。半径を変えても、$r>R$ での値は変わらない。

電位は折れるが飛ばない

表面で電場が $0$ から $kQ/R^2$ へ一気に変わります。グラフは縦に跳ぶ。

電位のほうは跳びません。$r=R$ で外側の式と内側の一定値がつながり、傾きだけが変わります。

電場は電位の傾きにあたるので、傾きが $0$ から急な下りへ切り替わる点が、電場の跳びに対応している。

例：半径 0.10 m の金属球

$Q=2.0\times 10^{-8}\mathrm{C}$、$R=0.10\mathrm{m}$ とします。

表面の電位は次のとおり。

$$V_R=9.0\times 10^9\times \frac{2.0\times 10^{-8}}{0.10}=1800\mathrm{V}$$

表面のすぐ外側の電場も出します。

$$E_R=9.0\times 10^9\times \frac{2.0\times 10^{-8}}{(0.10{)}^2}=1.8\times 10^{4}V/m$$

$E_R=\frac{V_R}{R}$ という関係になっています。$1800÷0.10=18000$ で確かに合う。

$r=0.20\mathrm{m}$ の点なら、距離が 2 倍なので電位は半分の $900\mathrm{V}$、電場は 4 分の 1 の $4500V/m$ です。

一様に帯電した球とは違う

金属ではなく、電荷が体積全体に一様に散らばった絶縁体の球を考えます。同じ $Q$ と $R$ でも、中の様子が変わります^[2]。

内側では、半径 $r$ の球面より内にある電荷だけが効きます。その量は $r^3$ に比例するので、電場は次の形。

$$E=k\frac{Qr}{R^3}(r\le R)$$

中心で $0$、表面へ向かって直線的に増えます。電位のほうは中心が最も高くなる。

$$V=k\frac{Q(3R^2-r^2)}{2R^3}(r\le R)$$

中心の値は $\frac{3}{2}kQ/R$ で、表面の $1.5$ 倍。今回の数値なら $2700\mathrm{V}$ です。

外側の $r>R$ では、2 つの球の値がぴたりと一致します。外から測るだけでは、中身が金属か絶縁体かを見分けられません。

例：2 つの球を導線でつなぐ

半径 $0.10\mathrm{m}$ と $0.20\mathrm{m}$ の金属球を、細い導線でつなぎます。

つながった全体が 1 つの導体になるので、電位はどこでも同じ値に落ち着きます。

$$k\frac{Q_1}{R_1}=k\frac{Q_2}{R_2}⟹\frac{Q_1}{Q_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{1}{2}$$

電荷は半径の比で分かれました。大きい球のほうに 2 倍の電荷が集まります。

表面の電場を比べると、話が逆になる。

$$\frac{E_1}{E_2}=\frac{Q_1/R_1^2}{Q_2/R_2^2}=\frac{R_2}{R_1}=2$$

電荷が少ないほうの球で、電場が 2 倍強い。半径に反比例します。

例：空洞の中は外の影響を受けない

金属球の中をくり抜いて、空洞を作ります。空洞に電荷を置かなければ、そこの電場は $0$ のままです^[3]。

外から強い電場を掛けても変わりません。導体の表面に電荷が並び直して、内部でちょうど打ち消す配置になるためです。

金属の箱に入れた測定器が外来の電場を拾わないのは、この性質によります。網目でもかなり効く。

例：接地するとどうなるか

帯電した金属球を導線で大地につなぎます。大地の電位を $0$ と決めるので、球の電位も $0$ に落ちます。

まわりに他の帯電体がなければ、電荷はすべて逃げていく。$1800\mathrm{V}$ だった球が $0\mathrm{V}$ になり、外部の電場も消えます。

近くに別の帯電体があると話が変わります。球の電位を $0$ に保つために必要なぶんの電荷が、逆符号で残る。

接地は「電荷を $0$ にする操作」ではなく、「電位を $0$ にする操作」です。この違いが答えを分けます。

例：表面の電荷密度から電場を出す

表面のすぐ外側の電場は、電荷密度からも書けます^[3]。

$$E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}$$

球の表面積は $4\pi R^2$ なので、$\sigma =\frac{Q}{4\pi R^2}$。これを入れると $E=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{R}^2}=k\frac{Q}{R^2}$ に戻ります。

${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}$ を使って直接確かめてみます。$\sigma =\frac{2.0\times 10^{-8}}{4\pi \times 0.01}=1.59\times 10^{-7}C/{\mathrm{m}}^2$ で、割ると $1.8\times 10^{4}V/m$。合いました。

検算のしかた

$E$ と $V$ の関係を当てる手が最も速い。球の外側では $V=Er$ が成り立つので、$r$ を掛けて電位に戻るかを見ます。

グラフの形も手がかりになります。電位は必ず連続で、どこにも段差ができません。段差が出たなら、内側の値を書き間違えています。

表面での一致も確かめる。内側の式に $r=R$ を入れた値と、外側の式に $r=R$ を入れた値は、電位なら必ず同じになります。

内と外で式を分け、表面でつながるかを確かめる。この 2 段構えにしておけば、球でも円筒でも同じ手順で進みます。

出典