磁場の中の荷電粒子の円運動〜半径と周期をわかりやすく解説

$1.0\times 10^{7}m/s$ の電子を、$0.010\mathrm{T}$ の磁場に垂直に打ち込みます。半径 $5.7\mathrm{mm}$ の円を描きます。

1 周にかかる時間は $3.6\mathrm{ns}$。速さを 2 倍にしても、半分にしても、この $3.6\mathrm{ns}$ は動きません。

半径は速さで変わるのに、周期は変わらない。この食い違いが、粒子加速器の設計を支えています。

力がいつも中心を向く

磁場から受ける力は、速度にも磁場にも垂直です。速度に垂直な力は仕事をしないので、速さが変わりません^[1]。

大きさが一定で、向きだけがつねに軌道の内側を向く。等速円運動の条件そのものです。

$$qvB=\frac{m{v}^2}{r}$$

左辺が磁場から受ける力、右辺が円運動に要る向心力。等しいと置きます。

半径の式

両辺を $v$ で割って整理します。

$$r=\frac{mv}{qB}$$

速さに比例し、磁場に反比例する。質量が大きい粒子ほど曲がりにくく、電荷が大きいほど曲がりやすくなります。

分子の $mv$ は運動量です。同じ運動量なら、粒子の種類によらず同じ半径になる。

周期は速さによらない

円周を速さで割れば、1 周の時間が出ます。

$$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi }{v}\cdot \frac{mv}{qB}=\frac{2\pi m}{qB}$$

$v$ が約分で消えました^[1]。速い粒子は大きな円を、遅い粒子は小さな円を描きますが、1 周にかかる時間は同じです。

逆数をとった $f=\frac{qB}{2\pi m}$ をサイクロトロン振動数といいます。

例：電子の半径と周期

$m=9.11\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、$q=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$、$v=1.0\times 10^{7}m/s$、$B=0.010\mathrm{T}$ とします^[2]。

$$r=\frac{9.11\times 10^{-31}\times 1.0\times 10^7}{1.6\times 10^{-19}\times 0.010}=5.7\times 10^{-3}\mathrm{m}$$

$5.7\mathrm{mm}$。手のひらに乗る大きさです。

$$T=\frac{2\pi \times 9.11\times 10^{-31}}{1.6\times 10^{-19}\times 0.010}=3.6\times 10^{-9}\mathrm{s}$$

振動数に直すと $2.8\times 10^8\mathrm{Hz}$、つまり $280\mathrm{MHz}$。ラジオの電波と同じ桁です。

例：陽子に入れかえる

同じ速さ、同じ磁場で陽子を打ち込みます。質量が $1836$ 倍なので、半径もそのまま $1836$ 倍。

$$r=1836\times 5.7\mathrm{mm}=10\mathrm{m}$$

$10\mathrm{m}$ になりました。周期も $1836$ 倍の $6.6\mu \mathrm{s}$、振動数は $150\mathrm{kHz}$ まで下がります。

例：磁場を変える

磁場を $2$ 倍の $0.020\mathrm{T}$ にします。半径も周期も、どちらも半分になる。

$$r=2.9\mathrm{mm},T=1.8\mathrm{ns}$$

半径だけを小さくしたい場面では、磁場を強くします。ただし周期も一緒に短くなるので、加速の周波数も上げなければなりません。

加速電圧から直接出す

多くの問題では、速さではなく加速電圧が与えられます。$\frac{1}{2}m{v}^2=qV$ から $v$ を出し、半径の式へ入れる。

$$r=\frac{m}{qB}\sqrt{\frac{2qV}{m}}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mV}{q}}$$

$500\mathrm{V}$ で加速した電子を $0.010\mathrm{T}$ に入れる場合を計算します。

$$r=\frac{1}{0.010}\sqrt{\frac{2\times 9.11\times 10^{-31}\times 500}{1.6\times 10^{-19}}}=7.5\times 10^{-3}\mathrm{m}$$

$7.5\mathrm{mm}$。この式には比電荷 $\frac{q}{m}$ しか入らないので、半径を測れば比電荷が求まります。

例：磁場の領域を通り抜ける

幅 $3.0\mathrm{mm}$ の帯状の磁場に、電子を垂直に打ち込みます。領域の中だけが円弧になり、出たあとは直線です。

曲がった角度は、幾何だけで決まります。半径 $r$ の円弧が幅 $d$ の帯を横切るとき、次の関係が成り立つ。

$$\sin \theta =\frac{d}{r}$$

$r=5.7\mathrm{mm}$、$d=3.0\mathrm{mm}$ を入れます。

$$\sin \theta =\frac{3.0}{5.7}=0.53⟹\theta =32^{\circ }$$

出口での横方向のずれも出ます。$r(1-\cos \theta )=5.7\times (1-0.85)=0.85\mathrm{mm}$。

$d$ が $r$ より大きいと $\sin \theta$ が $1$ を超えてしまいます。そのときは通り抜けられず、領域の中で半円を描いて戻ってくる。

例：半円を描いて戻る

境界から垂直に入った粒子が引き返す場合、出てくる位置は入った位置から $2r$ 離れた点になります。

半円をちょうど描くので、かかる時間は周期の半分です。

$$t=\frac{T}{2}=\frac{\pi m}{qB}$$

電子なら $1.8\mathrm{ns}$。速さがいくつでも同じ値で、入射した速さを知らなくても時間だけは決まります。

出てくる向きは、入った向きの正反対。境界に沿った距離 $2r$ を測れば、そこから半径が読めて、速さも出ます。

らせんになる場合の図

磁場と斜めに入った粒子は、円運動と等速直線運動を重ねた動きになります。

$30^{\circ }$ の角度で入った場合、垂直成分は $v\sin 30^{\circ }=0.5v$、平行成分は $v\cos 30^{\circ }=0.87v$。

半径は垂直成分だけで決まるので、真横から入った場合の半分になります。ピッチのほうは平行成分と周期の積です。

磁場と斜めに入るとき

速度が磁場と直角でない場合は、成分に分けます^[1]。

磁場に垂直な成分は円運動を作り、平行な成分はそのまま進み続ける。合わせるとらせんになります。

らせんの 1 巻きぶんの進み方をピッチといい、平行成分に周期を掛けた値です。

$$p=v_{\parallel }T=v\cos \theta \cdot \frac{2\pi m}{qB}$$

周期が速さによらないので、ピッチは平行成分だけで決まります。

検算のしかた

半径の式の分子が運動量になっているかを見ます。$mv$ が $\mathrm{kg}\cdot m/s$、分母の $qB$ が $\mathrm{C}\cdot \mathrm{T}$ で、割ると $\mathrm{m}$ になるはずです。

周期の式に $v$ が残っていないかも確かめます。残っていれば約分を忘れています。

桁の見当も立ちます。電子を $0.01\mathrm{T}$ 程度の磁場に入れれば半径は $\mathrm{mm}$ の桁。陽子なら $\mathrm{m}$ の桁になります。

磁気力を向心力と等しいと置き、$v$ を 1 つ約分する。それだけで半径が出て、周期からは $v$ が消えます。

参考