電池から引き出せる最大電力〜外部抵抗と内部抵抗をそろえる

起電力 $12\mathrm{V}$、内部抵抗 $2\Omega$ の電池に、外部抵抗をつなぎます。$2\Omega$ をつないだとき、消費電力が $18\mathrm{W}$ で最大になります。

$1\Omega$ に下げても $4\Omega$ に上げても $16\mathrm{W}$。抵抗を小さくすれば電流は増えますが、電圧が落ちて差し引きで損をします。

最大になるのは、外部抵抗が内部抵抗と等しくなったときです^[1]。相加相乗平均の関係から出てきます。

外部抵抗の関数として書く

内部抵抗 $r$ を含めた回路の電流は、起電力を全抵抗で割った値です^[2]。

$$I=\frac{E}{R+r}$$

外部抵抗が消費する電力は $P=I^{2}R$ なので、次の形になります。

$$P=\frac{E^{2}R}{(R+r{)}^2}$$

$R$ が小さいと分子が小さく、$R$ が大きいと分母が効いてくる。どこかに山があるはずです。

分母を分解する

分子と分母を $R$ で割ります。

$$P=\frac{E^2}{\frac{(R+r{)}^2}{R}}=\frac{E^2}{R+2r+\frac{r^2}{R}}$$

$P$ を最大にするには、分母を最小にすればよい。$2r$ は定数なので、動くのは $R+\frac{r^2}{R}$ の部分だけです。

正の 2 数の和なので、相加相乗平均の関係が使えます。

$$R+\frac{r^2}{R}\ge 2\sqrt{R\cdot \frac{r^2}{R}}=2r$$

等号が成り立つのは $R=\frac{r^2}{R}$、つまり $R=r$ のとき。分母の最小値は $4r$ になります。

$$P_{\max }=\frac{E^2}{4r}$$

例：12 V と 2 Ω

数値を入れます。

$$P_{\max }=\frac{12^2}{4\times 2}=18\mathrm{W}$$

このときの電流は $\frac{12}{2+2}=3\mathrm{A}$、端子電圧は $3\times 2=6\mathrm{V}$。掛けて $18\mathrm{W}$ で合っています。

端子電圧が起電力のちょうど半分になっている点も、$R=r$ の目印です。

山の左右は対称ではない

$R$ を横軸にとると、山は左右非対称に見えます。ただし別の見方をすると対称になる。

分母の $R+\frac{r^2}{R}$ は、$R$ と $\frac{r^2}{R}$ を入れかえても変わりません。積が $r^2$ になる 2 つの抵抗は、同じ電力を与えます。

$r=2\Omega$ なら、$0.5\Omega$ と $8\Omega$ が組。どちらでも $11.5\mathrm{W}$ です。

$1\Omega$ と $4\Omega$ も積が $4=r^2$ の組です。表の上下が同じ値になっているのは偶然ではありません。

最大でも効率は半分

電池が出している全電力は $EI$ で、そのうち外部が受けとるのは $I^{2}R$。残りは内部抵抗で熱になります。

効率を比で書きます。

$$\eta =\frac{I^{2}R}{EI}=\frac{R}{R+r}$$

$R=r$ を入れると $\eta =0.5$。最大の電力を引き出しているとき、同じだけの電力が電池の中で捨てられています。

例：効率を優先する場合

$R=18\Omega$ にすると、効率は \dfrac{18}{20} = 90\ \mathrm{%} まで上がります。

そのときの電力は次のとおり。

$$P=\frac{144\times 18}{20^2}=6.5\mathrm{W}$$

$18\mathrm{W}$ の 3 分の 1 ほどに落ちました。送電線のように損失を嫌う場面では、この形をとります。

逆に、電池の容量よりも瞬間の出力が要る場面では $R=r$ に近づける。スピーカーやアンテナの整合がその例です^[1]。

例：内部抵抗を測る

外部抵抗を変えながら電力を測り、山の頂点を探します。頂点の位置がそのまま内部抵抗です。

$12\mathrm{V}$ の電池で頂点が $2\Omega$ にあったなら、$r=2\Omega$。頂点の高さからも確かめられます。

$$r=\frac{E^2}{4P_{\max }}=\frac{144}{4\times 18}=2\Omega$$

2 通りの読み方が一致すれば、測定が正しかったと分かる。

微分でも同じ答えになる

相加相乗平均を使わずに、$P$ を $R$ で微分しても出せます^[1]。

$$\frac{dP}{dR}=E^2\cdot \frac{(R+r{)}^2-R\cdot 2(R+r)}{(R+r{)}^4}=E^2\cdot \frac{r-R}{(R+r{)}^3}$$

分子が $0$ になるのは $R=r$。$R<r$ では正、$R>r$ では負なので、そこが山の頂点だと分かります。

高校の範囲では相加相乗平均のほうが速い。ただし、なぜ等号で最大になるかを確かめたいときは微分が確実です。

両端では電力が 0 になる

山の形を確かめるなら、両端を見ると早い。

$R=0$ は短絡です。電流は $\frac{E}{r}=6\mathrm{A}$ と最大になりますが、外部の電圧が $0$ なので消費電力も $0$。すべて電池の中で熱になります。

$R\to \infty$ は開放です。端子電圧は起電力そのままの $12\mathrm{V}$ になりますが、電流が $0$ なので電力も $0$。

両端で $0$、途中に山が 1 つ。この形が見えていれば、頂点を探す問題だと気づけます。

例：電池を増やす

同じ電池を 2 個直列にすると、起電力も内部抵抗も 2 倍。$E=24\mathrm{V}$、$r=4\Omega$ です。

$$P_{\max }=\frac{24^2}{4\times 4}=36\mathrm{W}$$

並列にした場合は、起電力が $12\mathrm{V}$ のままで内部抵抗が半分の $1\Omega$。

$$P_{\max }=\frac{12^2}{4\times 1}=36\mathrm{W}$$

どちらも $36\mathrm{W}$ でした。電池が 2 個あれば引き出せる電力は 2 倍で、つなぎ方は関係ありません。

変わるのは、そろえるべき外部抵抗のほうです。直列なら $4\Omega$、並列なら $1\Omega$。手元の負荷に近いほうを選びます。

例：抵抗を足して整合させると

$8\Omega$ の負荷しかない場面で、$r=2\Omega$ にそろえたくなります。並列に $\frac{8}{3}\Omega$ を足せば、合成は $2\Omega$ です。

全体の消費電力は $18\mathrm{W}$ まで上がります。ところが、その内訳を見ると話が変わる。

端子電圧は $6\mathrm{V}$ なので、$8\Omega$ の負荷が受けとるのは $\frac{36}{8}=4.5\mathrm{W}$。残りの $13.5\mathrm{W}$ は、足した抵抗が熱にしています。

抵抗を足さずに $8\Omega$ だけをつないだ場合はどうか。

$$I=\frac{12}{10}=1.2\mathrm{A},P=1.2^2\times 8=11.5\mathrm{W}$$

$11.5\mathrm{W}$ のほうが多い。抵抗を足して整合させても、負荷そのものが受けとる電力は減ります。

整合が効くのは、負荷側の抵抗を作り変えられる場合だけです。あとから抵抗を並べても、そこで捨てるぶんが増えるだけになる。

検算のしかた

$R=r$ を代入したときに、端子電圧が起電力の半分になるかを見ます。ならなければ、内部抵抗の置き方が違う。

積が $r^2$ になる 2 つの抵抗で電力が一致するかも確かめられます。$r=2$ なら $1$ と $4$、$0.5$ と $8$ が組です。

最大値の式も覚えておくと早い。$\frac{E^2}{4r}$ で、外部抵抗の値は入りません。

電力を外部抵抗だけの式にして、分母の和に相加相乗平均を当てる。この 2 手で、山の位置も高さも一度に出ます。

参考