電位差計による起電力の測定（電圧計では測れない理由）

電池の起電力を電圧計で測ると、いつも本当の値より低く出ます。計器に電流が流れ、そのぶん内部抵抗で電圧が落ちるためです。

電位差計は、電流を $0$ にしたまま測ります。既知の起電力 $1.50\mathrm{V}$ の電池で平衡点が $50.0\mathrm{cm}$、未知の電池で $60.0\mathrm{cm}$ なら、答えは $1.80\mathrm{V}$。

割り算 1 回で出ます。目盛りの精度も、電源の安定も要りません。

電圧計が測っているもの

内部抵抗 $r$ の電池に電流 $I$ が流れているとき、端子に現れる電圧は起電力より小さくなります^[1]。

$$V=E-Ir$$

電圧計をつなぐと、その計器自身にも電流が流れます。$I$ が $0$ でないかぎり、読めるのは $E$ ではありません。

内部抵抗の小さい乾電池なら差はわずか。ところが、内部抵抗が大きい電源では無視できなくなります^[2]。

電流を 0 にする仕組み

長い抵抗線に、別の電源から一定の電流を流しておきます。線に沿って電位がなだらかに下がっていく。

測りたい電池を、線の一端と滑り接点のあいだにつなぎます。あいだには検流計を入れる。

接点を動かすと、線の一部が作る電位差が変わります。それが電池の起電力とちょうど等しくなったところで、検流計の振れが $0$ になる^[3]。

比べるだけでよい

抵抗線が一様なら、線の一部が作る電位差は長さに比例します。既知の電池と未知の電池で、それぞれ平衡点を探す。

$$\frac{E_x}{E_{\mathrm{s}}}=\frac{L_x}{L_{\mathrm{s}}}$$

作業電源が線に流している電流の値も、線の抵抗率も、この式には出てきません^[3]。2 回の測定のあいだに変わらなければ、消えてしまいます。

例：60.0 cm で平衡

既知の起電力を $1.50\mathrm{V}$、その平衡点を $50.0\mathrm{cm}$ とします。未知の電池は $60.0\mathrm{cm}$ で平衡しました。

$$E_x=1.50\times \frac{60.0}{50.0}=1.80\mathrm{V}$$

長さの比だけで答えが出ました。ものさしの読みが $1\mathrm{mm}$ まで正しければ、起電力も 0.2\ \mathrm{%} の精度で決まります。

例：内部抵抗も測れる

同じ装置で、内部抵抗まで出せます。手順は 2 段です。

まず電池だけをつないで起電力を測ります。$1.80\mathrm{V}$ でした。

次に電池に $10\Omega$ の外部抵抗をつなぎ、その両端の電圧を電位差計で測ります。$1.60\mathrm{V}$ と出たとします。

流れている電流は $\frac{1.60}{10}=0.16\mathrm{A}$。$V=E-Ir$ から内部抵抗が出ます。

$$r=\frac{1.80-1.60}{0.16}=1.25\Omega$$

電圧計だとどれだけずれるか

内部抵抗 $r$ の電源を、内部抵抗 $R_{\mathrm{V}}$ の電圧計で測ります。読みは分圧の形になる^[2]。

$$V=E\cdot \frac{R_{\mathrm{V}}}{R_{\mathrm{V}}+r}$$

乾電池のように $r$ が $1\Omega$ 程度で、電圧計が $10\mathrm{M\Omega }$ なら、ずれは $10^{-7}$ の桁。無視できます。

問題になるのは、内部抵抗の大きい電源です。$r=100\mathrm{k\Omega }$ の電源を $10\mathrm{M\Omega }$ の電圧計で測ると、次のようになる。

$$V=E\times \frac{10^7}{10^7+10^5}=0.990E$$

1\ \mathrm{%} 低く出ました。電位差計ならこのずれが $0$ です。

検算のしかた

平衡点の長さの比が、起電力の比と一致するかを見ます。起電力の大きい電池ほど、平衡点は遠くなるはず。

作業電源の電圧も確かめておきます。線の全長が作る電位差が測る起電力より小さいと、平衡点が線の外に出てしまい、どこへ動かしても検流計が振れたままになります。

内部抵抗を出したときは、$V=E-Ir$ に戻して端子電圧が再現するかを見る。$1.80-0.16\times 1.25=1.60$ で合いました。

検流計が止まる点を探し、長さの比を掛ける。電流を流さないという 1 点だけで、内部抵抗の影響が式から消えます。

参考