電気ポットの「1000 W」が意味するのは 1 秒あたりのジュール数

$1000\mathrm{W}$ の電熱器で、$1.0\mathrm{kg}$ の水を $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ から沸騰まで温めます。かかる時間は $5.6$ 分です。

熱がまったく逃げない場合の値なので、実際はもう少しかかります。$8$ 割が水に入るとすれば $7.0$ 分。

電気の側で計算した仕事と、熱の側で計算した必要量を等しいと置く。この 1 本の等式が問題の骨組みになります。

電気が出す熱

抵抗に電流が流れると、電気エネルギーが熱に変わります^[1]。1 秒あたりの量が電力です。

$$P=VI=I^{2}R=\frac{V^2}{R}$$

3 つの式はどれも同じ値を返します。与えられている量に合わせて選ぶ。

時間を掛ければ、その間に出た熱の総量になります^[3]。

$$Q=Pt=VIt$$

水が受けとる熱

温度を $\Delta T$ だけ上げるのに要る熱は、質量と比熱で決まります^[2]。

$$Q=mc\Delta T$$

水の比熱は $4186J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$^[2]。ほかの物質と比べてかなり大きく、温まりにくく冷めにくい性質のもとになっています。

例：1 リットルを沸かす

$1.0\mathrm{kg}$ の水を $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ から $100{}^{\circ }\mathrm{C}$ まで上げます。$\Delta T=80\mathrm{K}$ です。

$$Q=4186\times 1.0\times 80=3.35\times 10^5\mathrm{J}$$

$1000\mathrm{W}$ は 1 秒あたり $1000\mathrm{J}$ を出すので、必要な時間は割り算で出ます。

$$t=\frac{3.35\times 10^5}{1000}=335\mathrm{s}$$

$5.6$ 分でした。$8$ 割しか水に入らないとすれば $\frac{335}{0.8}=419\mathrm{s}$ で、$7.0$ 分になります。

例：電熱線の抵抗を出す

$100\mathrm{V}$ で $1000\mathrm{W}$ の電熱器なら、抵抗は次の式で決まります^[1]。

$$R=\frac{V^2}{P}=\frac{100^2}{1000}=10\Omega$$

流れる電流は $\frac{1000}{100}=10\mathrm{A}$。家庭の回路のほぼ上限にあたる大きさです。

例：電圧が下がるとどうなるか

同じ電熱器を $90\mathrm{V}$ につなぎます。抵抗は $10\Omega$ のままです。

$$P=\frac{90^2}{10}=810\mathrm{W}$$

電圧が $1$ 割下がっただけで、電力は $2$ 割近く落ちました。2 乗で効くためです。

沸かす時間は $\frac{1000}{810}=1.23$ 倍になります。$5.6$ 分が $6.9$ 分。

例：2 本つなぐと発熱が変わる

$10\Omega$ の電熱線を 2 本用意し、$100\mathrm{V}$ につなぎます。

直列なら合成抵抗は $20\Omega$。全体の電力は $\frac{100^2}{20}=500\mathrm{W}$ です。

並列なら $5\Omega$ で、$\frac{100^2}{5}=2000\mathrm{W}$。

同じ電熱線を 2 本使っても、つなぎ方で $4$ 倍の差が出ます。電圧が固定されている場面では、抵抗が小さいほど発熱が増える。

例：電熱線を半分に切る

$10\Omega$ の電熱線を半分に切ると、抵抗は $5\Omega$。$100\mathrm{V}$ につなげば $2000\mathrm{W}$ になります。

短くしたのに発熱が増える。同じ電圧をより短い距離に掛けるので、電場が強くなって電流が増えるためです。

切った電熱線は、そのぶん早く焼き切れます。定格を超えて使うと寿命が縮む理由がここにあります。

かかる時間は電力に反比例

同じ湯を沸かすなら、必要な熱の量は決まっています。あとは 1 秒あたりどれだけ入れるかだけ。

$$t=\frac{mc\Delta T}{P}$$

分母に $P$ があるので、電力を 2 倍にすれば時間は半分。単純な反比例です。

$400\mathrm{W}$ の電熱器なら $14$ 分、$2000\mathrm{W}$ なら $2.8$ 分。時間だけを比べると差が大きく見えますが、使う電力量はどれも同じ $0.093\mathrm{kW}\cdot \mathrm{h}$ です。

急いで沸かしても、ゆっくり沸かしても、電気代は変わらない。変わるのは熱が逃げる量のほうで、時間が長いほど損が増えます。

例：電流から出す

電圧が分からず、電流と抵抗だけが与えられる場合もあります。

$10\Omega$ に $10\mathrm{A}$ を $335\mathrm{s}$ 流したときの熱を出します^[1]。

$$Q=I^{2}Rt=10^2\times 10\times 335=3.35\times 10^5\mathrm{J}$$

さきほどと同じ値になりました。$VIt$ でも $I^{2}Rt$ でも $\frac{V^2}{R}t$ でも、同じ状況なら同じ答えが出ます。

直列につないだ複数の抵抗を比べるときは $I^{2}R$ が便利です。電流が共通なので、抵抗の大きいものほど熱くなると即座に分かる。

並列なら $\frac{V^2}{R}$ を使います。電圧が共通なので、こんどは抵抗の小さいものほど熱くなります。

例：比熱を実験で測る

式を逆に使えば、比熱そのものを測れます^[3]。

水に浸したヒーターに電圧 $U$ を掛け、電流 $I$ を時間 $t$ だけ流します。与えた仕事は $W=UIt$。

上がった温度を測れば、比熱が出ます。ただし容器も一緒に温まるので、そのぶんを引く必要がある。

$$c_{\text{水}}=\frac{UIt}{(m_{\text{水}}+C/c_{\text{水}})(T_2-T_1)}$$

容器の熱容量 $C$ は、別の実験で先に求めておきます。温度の違う水を混ぜて、落ち着く温度から逆算する方法が使われます^[3]。

単位の換算

家庭の電気料金では、$\mathrm{J}$ ではなくキロワット時を使います^[1]。

$$1\mathrm{kW}\cdot \mathrm{h}=3.6\times 10^6\mathrm{J}$$

$1$ 回沸かすのに要る $3.35\times 10^5\mathrm{J}$ は、$0.093\mathrm{kW}\cdot \mathrm{h}$ にあたります。

$1\mathrm{kW}\cdot \mathrm{h}$ が $30$ 円だとすれば、$1$ 回あたり $2.8$ 円。$1000\mathrm{W}$ を $5.6$ 分使ったぶんです。

検算のしかた

電気の側と熱の側で、単位がそろっているかを見ます。どちらも $\mathrm{J}$ になるはず。

比熱の値の桁も確かめます。水は $4.2\times 10^{3}J/(\mathrm{kg}\cdot \mathrm{K})$ で、$1\mathrm{kg}$ を $1\mathrm{K}$ 上げるのに $4200\mathrm{J}$。$1000\mathrm{W}$ なら $4.2$ 秒かかる計算です。

実験で比熱そのものを測るときは、容器が受けとる熱も足します^[3]。$Q=(mc+C)\Delta T$ の形になり、$C$ が容器の熱容量です。

電気で出した熱と、水が受けとる熱を等号でつなぐ。あとは聞かれている文字について解くだけです。

参考