抵抗率と導線の形｜引き伸ばすと抵抗が 2 乗で増える理由

直径 $1.0\mathrm{mm}$、長さ $1.0\mathrm{m}$ の銅線の抵抗は $0.021\Omega$ です。これを引き伸ばして $2.0\mathrm{m}$ にすると、$0.086\Omega$ になります。

長さが 2 倍だから抵抗も 2 倍、とはなりません。伸ばしたぶん細くなるので、断面積が半分になる。掛け合わせて 4 倍です。

長さと断面積は、抵抗の式の分子と分母に別々に入っています。同時に動く場面では、両方の効き方を掛け合わせます。

長さと断面積で決まる

一様な導線の抵抗は、次の式で決まります^[1]。

$$R=\rho \frac{L}{A}$$

$\rho$ は抵抗率で、材料だけで決まる量。単位は $\Omega \cdot \mathrm{m}$ です。

長い道ほど通りにくく、太い道ほど通りやすい。水が管を流れるときの抵抗と同じ形をしています。

例：銅線 1 m

直径 $1.0\mathrm{mm}$ の断面積を出します。半径は $0.50\mathrm{mm}$ です。

$$A=\pi (0.50\times 10^{-3}{)}^2=7.9\times 10^{-7}{\mathrm{m}}^2$$

銅の抵抗率は $1.68\times 10^{-8}\Omega \cdot \mathrm{m}$^[1]。

$$R=1.68\times 10^{-8}\times \frac{1.0}{7.9\times 10^{-7}}=2.1\times 10^{-2}\Omega$$

$0.021\Omega$ です。回路の抵抗が数十 $\Omega$ ある場面なら、導線のぶんは無視できます。

引き伸ばすと 2 乗で効く

金属を引き伸ばしても、体積は変わりません。長さと断面積の積が一定に保たれる。

$$LA=\text{一定}$$

長さを $n$ 倍にすれば、断面積は $\frac{1}{n}$ 倍。抵抗は次のように変わります。

$$R^{\prime }=\rho \frac{nL}{A/n}=n^2\rho \frac{L}{A}=n^{2}R$$

$2$ 倍に伸ばせば $4$ 倍、$3$ 倍なら $9$ 倍。長さだけを見て $2$ 倍と答えると外します。

例：3 倍に伸ばす

$0.021\Omega$ の銅線を $3.0\mathrm{m}$ まで引き伸ばします。

$$R^{\prime }=3^2\times 0.021=0.19\Omega$$

直径のほうも見ておきます。断面積が $\frac{1}{3}$ になるので、直径は $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 倍の $0.58\mathrm{mm}$。

長さ、太さ、抵抗。3 つの変わり方をそろえて確かめると、計算の間違いが見つかります。

体積を固定した式

引き伸ばしの問題は、体積 $V=LA$ を使って書き直すと 1 本の式になります。

$$R=\rho \frac{L}{A}=\rho \frac{L}{V/L}=\frac{\rho L^2}{V}$$

同じ量の金属を使うかぎり、抵抗は長さの 2 乗に比例する。断面積を消してしまえば、変数が 1 つで済みます。

太さだけを変える場合

長さを変えずに直径だけを 2 倍にすると、断面積は $4$ 倍。抵抗は $\frac{1}{4}$ になります。

直径の 2 乗で効くので、わずかな太さの違いが大きく響く。屋内配線で太さを 1 段上げると、損失がはっきり減ります。

材料で決まる抵抗率

金属どうしを比べると、値は同じ桁に収まります^[1]。

銀が最も低いのに銅が使われるのは、値段の差が大きいからです。アルミニウムは銅より抵抗率が高いものの軽いので、送電線では有利になります。

例：延長コードの電圧降下

$20\mathrm{m}$ の延長コードを使います。行きと帰りで $40\mathrm{m}$ ぶんの銅線を電流が通る。

直径 $1.6\mathrm{mm}$ なら断面積は $2.0\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$ です。

$$R=1.68\times 10^{-8}\times \frac{40}{2.0\times 10^{-6}}=0.34\Omega$$

$10\mathrm{A}$ を流すと、電圧降下は $3.4\mathrm{V}$。失われる電力は次のとおり^[2]。

$$P=I^{2}R=10^2\times 0.34=34\mathrm{W}$$

コードが温かくなる理由です。細いコードで大きな電流を流すと、この値が跳ね上がります。

例：アルミで銅と同じ抵抗にする

アルミニウムの抵抗率は銅の $\frac{2.65}{1.68}=1.58$ 倍です^[1]。

同じ長さで同じ抵抗にするには、断面積を $1.58$ 倍にすればよい。直径なら $\sqrt{1.58}=1.26$ 倍です。

銅線が直径 $1.6\mathrm{mm}$ なら、アルミ線は $2.0\mathrm{mm}$。太くはなりますが、送電線のように長さが桁違いの場面では、材料の重さのほうが効いてきます。

直径の効き方をグラフで見る

長さを固定して直径だけを動かすと、抵抗は直径の 2 乗に反比例します。

$0.5\mathrm{mm}$ の線は $1.0\mathrm{mm}$ の線の 4 倍の抵抗を持ちます。細い側では、わずかな差が大きく効く。

導電率という裏返しの量

抵抗率の逆数を導電率といいます^[1]。

$$\sigma =\frac{1}{\rho }$$

通りにくさで書くか、通りやすさで書くかの違いだけです。銅の導電率は $\frac{1}{1.68\times 10^{-8}}=6.0\times 10^7$ ほど。

材料を比べるときは導電率のほうが直感に合う場面もあります。値が大きいほど電気を通す、という向きになるためです。

温度でも変わる

金属の抵抗率は温度とともに上がります^[1,3]。

$$R(T)=R_0\left(1+\alpha (T-T_0)\right)$$

銅の温度係数は $\alpha =0.0039{\mathrm{K}}^{-1}$。$20{}^{\circ }\mathrm{C}$ で $0.021\Omega$ の線が $100{}^{\circ }\mathrm{C}$ になるとどうなるか。

$$R=0.021\times (1+0.0039\times 80)=0.028\Omega$$

3 割ほど増えました。半導体は逆で、温度が上がると抵抗が下がります^[3]。

検算のしかた

単位で確かめます。$\rho$ の単位が $\Omega \cdot \mathrm{m}$、$L$ が $\mathrm{m}$、$A$ が ${\mathrm{m}}^2$ なので、割り算の結果は $\Omega$ になるはず。

倍率の問題では、長さと断面積の変わり方を別々に書き出します。それぞれの倍率を掛け合わせれば、抵抗の倍率が出ます。

桁の見当も立ちます。金属の抵抗率は $10^{-8}\Omega \cdot \mathrm{m}$ の桁。$\mathrm{m}$ 単位の長さと $\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ 単位の断面積なら、答えは $10^{-2}\Omega$ の前後に落ち着きます。

長さと断面積を別々に追い、最後に掛け合わせる。引き伸ばしでも切断でも、この手順は変わりません。

参考