糸で吊るした帯電球と力のつり合い〜張力を消す解き方

質量 $2.0\mathrm{g}$ の小球を糸で吊るし、$4.0\times 10^{-7}\mathrm{C}$ の電荷を与えます。水平な一様電場に入れると、糸が鉛直から $45^{\circ }$ 傾きました。

この角度だけで電場の強さが決まります。$4.9\times 10^{4}V/m$ です。

糸の張力は分かっていません。それでも答えが出るのは、$\tan$ をとると張力が消えるためです。

つり合う 3 つの力

小球に働く力は 3 つ。下向きの重力、水平の静電気力、糸に沿った張力です。

静止しているので、3 つのベクトルを足すと $0$ になります。首尾をつないで並べれば、三角形が閉じる。

$$mg=2.0\times 10^{-3}\times 9.8=1.96\times 10^{-2}\mathrm{N}$$

静電気力は $F=qE$ です^[1]。電場の向きが水平なら、力も水平になります。

三角形の直角をはさむ 2 辺が $mg$ と $qE$ です。その比が傾きの $\tan$ になります。

$$\tan \theta =\frac{qE}{mg}$$

張力は斜辺なので、この式には出てきません。未知数が 1 つ減る。

例：45 度から電場を出す

$\tan 45^{\circ }=1$ なので $qE=mg$ です。

$$E=\frac{mg}{q}=\frac{1.96\times 10^{-2}}{4.0\times 10^{-7}}=4.9\times 10^{4}V/m$$

張力も出せます。直角三角形の斜辺なので、次のとおり。

$$T=\sqrt{(mg{)}^2+(qE{)}^2}=\sqrt{2}\times 1.96\times 10^{-2}=2.8\times 10^{-2}\mathrm{N}$$

$mg$ より大きくなりました。横から押されるぶん、糸はよけいに張ります。

角度の伸び方は一定ではありません。$\tan$ は $45^{\circ }$ を超えると急に立ち上がるので、そこから先は角度が動きにくくなります。

$60^{\circ }$ まで開かせるには重力の $1.7$ 倍の力が要ります。$90^{\circ }$ にするには無限の力が必要で、糸は水平になりません。

例：2 つの球が反発して開く

同じ点から長さ $0.50\mathrm{m}$ の糸を 2 本垂らし、質量 $1.0\mathrm{g}$ の小球を吊るします。両方に同じ電荷を与えると、鉛直から $30^{\circ }$ ずつ開きました。

この配置でも力の三角形は同じ形です。違うのは、横向きの力が相手の球から来ることと、その大きさが距離に依存すること^[2]。

2 球の間隔は、糸の長さと角度から出ます。

$$r=2L\sin 30^{\circ }=2\times 0.50\times 0.50=0.50\mathrm{m}$$

つり合いの式から、働いている力が分かります。

$$F=mg\tan 30^{\circ }=1.0\times 10^{-3}\times 9.8\times 0.577=5.7\times 10^{-3}\mathrm{N}$$

あとはクーロンの法則を逆に解くだけ。

$$q=\sqrt{\frac{F{r}^2}{k}}=\sqrt{\frac{5.7\times 10^{-3}\times 0.25}{9.0\times 10^9}}=4.0\times 10^{-7}\mathrm{C}$$

角度と長さと質量だけを測って、電荷の大きさが出ました。クーロン自身の測定も、ねじり秤で同じ関係を使っています^[3]。

間隔は電荷の 3 分の 2 乗

角度が小さいときは、$\tan \theta$ と $\sin \theta$ をほぼ同じとみなせます。$\sin \theta =\frac{r}{2L}$ なので、つり合いの式は次の形になる。

$$k\frac{q^2}{r^2}=mg\cdot \frac{r}{2L}$$

$r$ について整理します。

$$r^3=\frac{2Lk{q}^2}{mg}$$

間隔は電荷の $\frac{2}{3}$ 乗でしか伸びません。電荷を 2 倍にしても、開きは $2^{2/3}=1.6$ 倍ほど。

例：電荷が漏れて減ると

湿った日には、球の電荷が空気中へ逃げていきます。開いた角がゆっくり閉じていく。

電荷が $\frac{1}{8}$ まで減ったとします。間隔は ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{2/3}=\frac{1}{4}$ 倍。

$0.50\mathrm{m}$ 開いていたものが $0.125\mathrm{m}$ まで閉じます。電荷の減り方より、見た目の変化はゆるやか。

検算のしかた

電場を $0$ に戻したとき、式が $\theta =0$ を返すかを見ます。$\tan \theta =qE/(mg)$ に $E=0$ を入れれば $0$ で、糸は鉛直に戻る。

張力の値も手がかりになります。$T=\sqrt{(mg{)}^2+(qE{)}^2}$ は必ず $mg$ 以上。これより小さい答えが出たら、どこかで成分を落としています。

質量の単位もよく見ます。$\mathrm{g}$ のまま $9.8$ を掛けると、力が $1000$ 倍ずれる。

$\sin$ と $\tan$ のとり違えは、角度が小さいと数値がほぼ同じになるので見つけにくい。$45^{\circ }$ で試すと差がはっきりします。

張力を消すか、張力を求めるか。前者なら $\tan$、後者なら $\cos$ を使う。この使い分けだけで、糸で吊るす問題はほぼ片づきます。

参考