50 キロボルトで 12 メガ電子ボルトまで届く（サイクロトロンの周回数）

$50\mathrm{kV}$ の交流電圧で、陽子を $12\mathrm{MeV}$ まで加速できます。$240$ 倍のエネルギーを、同じ隙間を何度も通らせて稼ぎます。

$1.0\mathrm{T}$ の磁場と半径 $0.50\mathrm{m}$ の装置なら、$120$ 周でそこに届く。かかる時間は $7.9\mu \mathrm{s}$ です。

同じ周波数のまま押し続けられるのは、磁場の中の円運動の周期が速さによらないためです^[1]。

隙間でだけ加速する

サイクロトロンは、半円形の 2 つの電極を向かい合わせた装置です。装置全体が一様な磁場の中に置かれています。

電極の内側には電場がありません。粒子はそこで円運動をするだけ。

加速が起きるのは、2 つの電極のあいだの隙間だけです。そこを通るたびに電位差を渡り、$qV$ のエネルギーを受けとる^[2]。

周期が変わらないから合わせられる

加速のたびに粒子は速くなり、描く円は大きくなります。それでも半周にかかる時間は変わりません^[1]。

$$T=\frac{2\pi m}{qB}$$

速さが式に入っていないので、何周目でも同じ。だから電圧の向きを一定の周期で反転させておけば、いつでも加速の向きに間に合います。

この周波数を共鳴周波数といいます。

$$f=\frac{qB}{2\pi m}$$

例：陽子の共鳴周波数

$B=1.0\mathrm{T}$、陽子の質量 $1.67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$ で計算します。

$$f=\frac{1.6\times 10^{-19}\times 1.0}{2\pi \times 1.67\times 10^{-27}}=1.5\times 10^7\mathrm{Hz}$$

$15\mathrm{MHz}$。短波ラジオと同じ帯域です。この周波数の交流を電極に掛けておけば、加速が続きます。

電子で同じことをすると、質量が $1836$ 分の 1 なので周波数は $28\mathrm{GHz}$。電子用のサイクロトロンが作りにくいのは、この高さのためです。

最大エネルギーは半径で決まる

粒子をとり出すのは、円が装置のふちに届いたときです。そのときの半径 $R$ が上限になります。

半径の式を速さについて解きます。

$$v_{\max }=\frac{qBR}{m}$$

これを運動エネルギーの式に入れます^[2]。

$$K_{\max }=\frac{1}{2}m{v}_{\max }^2=\frac{q^2{B}^2{R}^2}{2m}$$

加速電圧が式に入っていません。上限を決めるのは磁場の強さと装置の大きさだけです。

例：12 MeV まで加速する

$q=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$、$B=1.0\mathrm{T}$、$R=0.50\mathrm{m}$、$m=1.67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$ とします。

$$K_{\max }=\frac{(1.6\times 10^{-19}{)}^2\times 1.0^2\times 0.50^2}{2\times 1.67\times 10^{-27}}=1.9\times 10^{-12}\mathrm{J}$$

電子ボルトに直します。$1.6\times 10^{-19}$ で割ると $1.2\times 10^7\mathrm{eV}$、つまり $12\mathrm{MeV}$^[3]。

そのときの速さは $4.8\times 10^{7}m/s$ で、光速の 16\ \mathrm{%} です。

何周すればよいか

1 周のあいだに隙間を 2 回通るので、受けとるエネルギーは $2qV$。加速電圧が $50\mathrm{kV}$ なら $1$ 周で $100\mathrm{keV}$ です。

$$n=\frac{12\mathrm{MeV}}{100\mathrm{keV}}=120$$

$120$ 周。1 周にかかる時間は共鳴周波数の逆数の $6.6\times 10^{-8}\mathrm{s}$ なので、全体では次のとおり。

$$t=120\times 6.6\times 10^{-8}=7.9\times 10^{-6}\mathrm{s}$$

$8\mu \mathrm{s}$ で $12\mathrm{MeV}$ に届きます。加速電圧を $100\mathrm{kV}$ に上げれば $60$ 周、$4\mu \mathrm{s}$ で済む。

半径の伸び方は平方根

エネルギーは 1 周ごとに一定量ずつ増えます。半径のほうはそうなりません。

$K=\frac{q^2{B}^2{r}^2}{2m}$ から、$r\propto \sqrt{K}$ です。$n$ 回目の半円の半径は $\sqrt{n}$ に比例する。

はじめのうちは円が急に広がり、外側へ行くほど間隔が詰まります。渦巻きの間隔が外側で狭く見えるのは、この形のためです。

例：アルファ粒子を加速する

電荷が $2e$、質量が陽子の $4$ 倍のアルファ粒子を同じ装置に入れます。

共鳴周波数は $\frac{q}{m}$ に比例するので、$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ 倍の $7.5\mathrm{MHz}$。

最大エネルギーは $\frac{q^2}{m}$ に比例します。

$$\frac{(2e{)}^2}{4m_{\mathrm{p}}}=\frac{4e^2}{4m_{\mathrm{p}}}=\frac{e^2}{m_{\mathrm{p}}}$$

陽子と同じでした。$12\mathrm{MeV}$ まで加速できます。ただし核子 4 個で分け合うので、核子あたりでは $3\mathrm{MeV}$ にとどまる。

電荷の 2 乗が効く一方で質量も増えるため、比電荷が $\frac{1}{2}$ の粒子では両者が打ち消し合います。

半径の伸び方を図で見る

$30$ 周の時点で、半径はもう最大の半分に達しています。$\sqrt{30/120}=0.5$ だからです。

エネルギーのほうは $\frac{30}{120}=0.25$ で、まだ 4 分の 1。外側へ行くほど、1 周あたりの広がりが小さくなります。

装置を大きくするか磁場を強くするか

$K_{\max }$ は $B^2$ にも $R^2$ にも比例します。どちらを 2 倍にしても、エネルギーは 4 倍。

違いは共鳴周波数のほうに出ます。$R$ を 2 倍にしても周波数は変わりませんが、$B$ を 2 倍にすると周波数も 2 倍になる。

電源側の負担を考えると、大きく作るほうが楽です。ただし磁石の重さと費用が効いてくるので、実際には両方の兼ね合いで決まります。

相対論が壁になる

速さが光速に近づくと、質量が増えたように振る舞います。周期の式の $m$ が変わるので、共鳴が崩れる。

陽子のサイクロトロンでは、$30\mathrm{MeV}$ ほどが上限とされています^[2]。それ以上を狙うなら、周波数を下げていく仕組みが要ります。

$12\mathrm{MeV}$ は静止エネルギー $938\mathrm{MeV}$ の 1.3\ \mathrm{%} ほど。まだ古典的な扱いで足ります。

検算のしかた

共鳴周波数の式に速さや半径が入っていないかを見ます。入っていれば式が違います。

最大エネルギーの式に加速電圧が入っていないかも確かめます。入るのは $q$、$B$、$R$、$m$ の 4 つだけです。

$\mathrm{J}$ と $\mathrm{eV}$ の換算も忘れやすい。$1.6\times 10^{-19}$ で割ると $\mathrm{eV}$、さらに $10^6$ で割ると $\mathrm{MeV}$ になります。

周期が速さによらない、という 1 点だけで装置が成り立っています。あとは磁場と半径が上限を決め、電圧は到達までの時間を決めるだけです。

参考