電池を直列にすべきか並列にすべきか？境目は外部抵抗と内部抵抗が等しい点

起電力 $1.5\mathrm{V}$、内部抵抗 $1\Omega$ の電池が 4 個あります。$10\Omega$ の負荷につなぐなら直列で $1.84\mathrm{W}$、並列だと $0.21\mathrm{W}$ しか出ません。

負荷を $0.1\Omega$ に変えると、立場がそっくり入れかわります。直列が $0.21\mathrm{W}$、並列が $1.84\mathrm{W}$。

境目は $R=r$ の 1 点です。電池の個数がいくつでも、この位置は動きません。

つなぎ方で 2 つの量が動く

電池をつなぐと、起電力と内部抵抗の両方が変わります^[1]。

同じ電池を $n$ 個直列にすれば、起電力は $nE$ に、内部抵抗も $nr$ になる。並列なら起電力は $E$ のままで、内部抵抗が $\frac{r}{n}$ に下がります。

外部抵抗 $R$ をつないだときの電流は、それぞれ次の形です。

$$I_{\text{直列}}=\frac{nE}{R+nr},I_{\text{並列}}=\frac{E}{R+\frac{r}{n}}$$

例：外部抵抗が 10 Ω

$E=1.5\mathrm{V}$、$r=1\Omega$、$n=4$ とします。

直列なら起電力 $6.0\mathrm{V}$、内部抵抗 $4\Omega$。

$$I=\frac{6.0}{10+4}=0.43\mathrm{A},P=0.43^2\times 10=1.84\mathrm{W}$$

並列なら起電力 $1.5\mathrm{V}$、内部抵抗 $0.25\Omega$。

$$I=\frac{1.5}{10+0.25}=0.146\mathrm{A},P=0.146^2\times 10=0.21\mathrm{W}$$

$9$ 倍近い差が付きました。外部抵抗が大きいときは、電圧を稼ぐほうが効きます。

例：外部抵抗が 0.1 Ω

同じ電池で負荷だけを変えます。

直列は $\frac{6.0}{0.1+4}=1.46\mathrm{A}$ で、$P=1.46^2\times 0.1=0.21\mathrm{W}$。

並列は $\frac{1.5}{0.1+0.25}=4.29\mathrm{A}$ で、$P=4.29^2\times 0.1=1.84\mathrm{W}$。

さきほどと同じ 2 つの値が、そっくり入れかわりました。内部抵抗が全抵抗を支配する場面では、それを下げるほうが効きます。

境目は R と r が等しい点

2 つの電流の式を等しいと置きます。

$$\frac{nE}{R+nr}=\frac{E}{R+\frac{r}{n}}$$

両辺を整理すると、次の形になります。

$$nR+r=R+nr⟹(n-1)R=(n-1)r$$

$n\ne 1$ なら $R=r$。個数 $n$ が消えました。

$r=1\Omega$ の電池なら、負荷が $1\Omega$ より大きければ直列、小さければ並列。乾電池と豆電球の組み合わせは前者、セルモーターのような低抵抗の負荷は後者です。

最大の電力はどちらでも同じ

負荷を自由に選べるなら、どちらのつなぎ方でも同じ値まで引き出せます。

直列では $R=nr$ のときに最大で、その値は次のとおり。

$$P_{\max }=\frac{(nE{)}^2}{4nr}=\frac{n{E}^2}{4r}$$

並列では $R=\frac{r}{n}$ のときに最大です。

$$P_{\max }=\frac{E^2}{4\cdot \frac{r}{n}}=\frac{n{E}^2}{4r}$$

一致しました。電池が $n$ 個あれば $n$ 倍の電力を引き出せて、つなぎ方は関係ありません^[3]。

変わるのは、そろえるべき負荷のほうです。直列なら $4\Omega$、並列なら $0.25\Omega$。

例：1 個を逆向きにつなぐ

4 個直列のうち 1 個の向きを逆にします。起電力は打ち消し合って $1.5\times 2=3.0\mathrm{V}$。

内部抵抗のほうは向きに関係なく足されるので、$4\Omega$ のままです。

$$I=\frac{3.0}{10+4}=0.21\mathrm{A}$$

正しくつないだ場合の半分になりました。逆向きの 1 個は、電流の向きに逆らうので充電される側に回ります。

内部抵抗の違う電池を並列にすると

起電力 $1.5\mathrm{V}$ の電池と $1.2\mathrm{V}$ の電池を並列につなぎます。どちらも内部抵抗は $1\Omega$ とします。

外部に何もつながなくても、2 つの電池のあいだで電流が流れます。

$$I=\frac{1.5-1.2}{1+1}=0.15\mathrm{A}$$

端子の電圧は $1.5-0.15\times 1=1.35\mathrm{V}$。強いほうが弱いほうを充電している状態です。

新しい電池と古い電池を混ぜて使うと減りが早いのは、この電流が内部で熱になるためです。

例：直列の本数を増やしていく

$R=10\Omega$ を固定したまま、直列につなぐ電池の数を増やします。

$n=1$ なら $I=\frac{1.5}{11}=0.14\mathrm{A}$、$n=4$ で $0.43\mathrm{A}$、$n=10$ なら $\frac{15}{20}=0.75\mathrm{A}$。

増やすほど電流は伸びますが、伸び方は鈍っていきます。$n$ を無限に大きくしたときの極限を見ます。

$$I=\frac{nE}{R+nr}\underset{n\to \infty }{\to }\frac{E}{r}=1.5\mathrm{A}$$

$1.5\mathrm{A}$ が天井でした。電池を何個つないでも、電池 1 個を短絡したときの電流を超えられません。

内部抵抗も一緒に増えるためです。電圧を稼いでも、そのぶん通りにくくなる。

例：直列と並列を組み合わせる

6 個の電池を、3 個直列の組を 2 つ作って並列にします。起電力は $4.5\mathrm{V}$、内部抵抗は $\frac{3\times 1}{2}=1.5\Omega$。

$$I=\frac{4.5}{10+1.5}=0.39\mathrm{A},P=0.39^2\times 10=1.53\mathrm{W}$$

6 個すべてを直列にした場合と比べます。起電力 $9.0\mathrm{V}$、内部抵抗 $6\Omega$。

$$I=\frac{9.0}{16}=0.56\mathrm{A},P=0.56^2\times 10=3.16\mathrm{W}$$

全直列のほうが上でした。負荷の $10\Omega$ が電池 1 個の内部抵抗より大きいので、境目の判定どおりです。

検算のしかた

全抵抗が $R$ より必ず大きいかを見ます。内部抵抗を足し忘れると、電流が大きく出すぎます。

極端な場合に戻すのも早い。$r=0$ の理想電池なら、直列は必ず有利で並列は $1$ 個と変わりません。式にそう出るかを確かめます。

電力の合計も確かめられます。電池が出す全電力 $nEI$ または $EI$ から、内部で熱になるぶんを引くと負荷の電力になるはず。

負荷が電池 1 個の内部抵抗より大きいか小さいか。判断はこの 1 点で足ります。

参考