誘導起電力と磁束の変化率｜単位時間あたりで決まる

$1\mathrm{T}$ の磁場の中にコイルを置いても、動かさなければ起電力は $0$ です。$0.04\mathrm{T}$ しかない磁場でも、$1$ 秒で消えれば起電力が生まれます。

決めているのは磁束そのものではなく、$1$ 秒あたりどれだけ変わるかです^[1]。

$200$ 回巻いた $25\mathrm{cm}$ 角のコイルで、磁場が毎秒 $0.040\mathrm{T}$ ずつ減る場合を計算すると $0.50\mathrm{V}$。抵抗が $5.0\Omega$ なら $0.10\mathrm{A}$ が流れます^[1]。

磁束の定義

コイルを貫く磁束は、磁場と面積と角度で決まります^[1,4]。

$$\Phi =BA\cos \theta$$

$\theta$ は磁場の向きと面の法線がなす角。正面から貫くとき $\cos \theta =1$ で最大、面が磁場と平行なら $0$ です。

単位はウェーバで、$1\mathrm{Wb}=1\mathrm{T}\cdot {\mathrm{m}}^2$。

起電力は変化率

$N$ 回巻いたコイルに生じる起電力は、磁束の時間変化率に巻数を掛けた値になります^[1]。

$$\epsilon =-N\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}$$

マイナスは向きを表しています。大きさだけを問われる問題では、絶対値をとって進めて差し支えありません。

変わりうるのは 3 つ

$\Phi =BA\cos \theta$ の右辺には、動きうる量が 3 つあります^[4]。

磁場の強さ $B$、面積 $A$、角度 $\theta$。どれが変わっても起電力は生まれます。

問題を読むとき、まずこの 3 つのどれが動いているかを決めます。そこが決まれば、あとは割り算だけです。

例：磁場が減っていく

$25\mathrm{cm}$ 角のコイルを $200$ 回巻き、磁場に正面を向けて置きます。磁場が毎秒 $0.040\mathrm{T}$ の割合で減っていく場合です^[1]。

面積は $0.25^2=0.0625{\mathrm{m}}^2$。変わるのは $B$ だけなので、変化率をそのまま掛けます。

$$|\epsilon |=NA\left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right|=200\times 0.0625\times 0.040=0.50\mathrm{V}$$

コイルの抵抗が $5.0\Omega$ なら、流れる電流は $0.10\mathrm{A}$。

磁場が $1.0\mathrm{T}$ でも $0.1\mathrm{T}$ でも、減る速さが同じなら起電力は同じです。

例：面積が変わる

$0.20\mathrm{T}$ の一定の磁場の中で、1 巻きのコイルを引き伸ばします。面積が $0.010{\mathrm{m}}^2$ から $0.030{\mathrm{m}}^2$ へ $0.50\mathrm{s}$ で広がるとします。

$$|\epsilon |=B\left|\frac{\Delta A}{\Delta t}\right|=0.20\times \frac{0.020}{0.50}=8.0\times 10^{-3}\mathrm{V}$$

$8.0\mathrm{mV}$。磁場は動いていないのに、起電力が生まれています。

例：角度が変わる

$0.10\mathrm{T}$ の磁場の中に、面積 $0.020{\mathrm{m}}^2$ のコイルを $100$ 回巻いて置きます。正面を向いた状態から $0.10\mathrm{s}$ で $90^{\circ }$ 倒します。

はじめの磁束は $0.10\times 0.020\times 1=2.0\times 10^{-3}\mathrm{Wb}$、終わりは $0$。

$$|\epsilon |=100\times \frac{2.0\times 10^{-3}}{0.10}=2.0\mathrm{V}$$

$\cos \theta$ が $1$ から $0$ へ落ちるぶんが、そのまま効いています。

グラフから読む

磁束と時間のグラフが与えられる問題では、傾きを読むだけで起電力が出ます。

傾きが急なところほど起電力が大きい。水平な区間では $0$ です。

折れ曲がる点の前後で、電流の向きが逆になります。傾きの符号が変わるためです。

巻数と面積と角度の効き方

実験で確かめるときは、1 つずつ変えて比べます^[4]。

巻数を $2$ 倍にすれば起電力も $2$ 倍。面積も同じで、比例します。

角度だけは $\cos \theta$ が入るので比例しません。$60^{\circ }$ 倒しても $\cos 60^{\circ }=0.5$ で半分にとどまります。

検算のしかた

単位を確かめます。$\frac{\mathrm{Wb}}{\mathrm{s}}$ が $\mathrm{V}$ になるはず。$1\mathrm{Wb}=1\mathrm{V}\cdot \mathrm{s}$ なので合います。

変化が止まった瞬間に起電力が $0$ になるかも見ます。ならなければ、変化率ではなく値そのものを使っています。

グラフの問題では、起電力のグラフが磁束のグラフの傾きになっているかを確かめる。段差のある形になるはずです。

磁束の式を書き、どの文字が動くかを決め、その変化率をとる。この順で進めれば、配置が変わっても同じ手順で答えが出ます。

参考