電場が 0 になる点、同符号なら内側で異符号なら外側

$+4.0\mu \mathrm{C}$ と $+9.0\mu \mathrm{C}$ を $0.50\mathrm{m}$ 離して置きます。あいだで電場が $0$ になるのは、小さいほうから $0.20\mathrm{m}$ の点です。

$4:9$ で分けた $0.15\mathrm{m}$ ではありません。効いてくるのは平方根をとった $2:3$ のほうです。

分母が $r^2$ なので、距離を縮める効果が電荷の大きさより速く育ちます。その差が内分の比に出てきます。

電場も 1 個ずつ出して足す

点電荷が作る電場の大きさは、電荷を距離の 2 乗で割った形です^[1]。

$$E=k\frac{|q|}{r^2},k=9.0\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$$

電荷が 2 個あれば、それぞれが作る電場をベクトルとして足す。これも重ね合わせです^[2]。

向きは、正電荷なら電荷から遠ざかる向き、負電荷なら電荷へ向かう向き。一直線上の問題では、左右のどちらかにしかなりません。

打ち消し合うのは、2 本が逆を向いていて、大きさもそろったときだけです。

外側では、2 本の矢印がそろって同じ向きを指します。大きさが違っても足し算にしかならない。

あいだに入ったときだけ、矢印は逆を向きます。だから消える点は必ず内側の 1 点です。

平方根の比で内分する

$q_1$ から $d_1$、$q_2$ から $d_2$ の点で釣り合う条件を書きます。

$$k\frac{|q_1|}{d_1^2}=k\frac{|q_2|}{d_2^2}$$

両辺の平方根をとると、比の形になります。

$$\frac{d_1}{d_2}=\sqrt{\frac{|q_1|}{|q_2|}}$$

距離の比は、電荷の比ではなく電荷の平方根の比。ここをとり違えると答えが合いません。

例：4 と 9 を 0.50 m 離す

$\sqrt{4}:\sqrt{9}=2:3$ です。$0.50\mathrm{m}$ を $2:3$ に分ければ $0.20\mathrm{m}$ と $0.30\mathrm{m}$。

確かめます。左の電荷が作る電場は次のとおり。

$$E_1=9.0\times 10^9\times \frac{4.0\times 10^{-6}}{(0.20{)}^2}=9.0\times 10^{5}N/C$$

$$E_2=9.0\times 10^9\times \frac{9.0\times 10^{-6}}{(0.30{)}^2}=9.0\times 10^{5}N/C$$

そろいました。向きは、左の電荷からは右へ、右の電荷からは左へ。合成すると $0$ です。

$4:9$ で分けた $0.15\mathrm{m}$ で試すと、左からは $1.6\times 10^{6}N/C$、右からは $6.6\times 10^{5}N/C$。まったく釣り合いません。

例：等しい 2 電荷ならまん中

$\sqrt{q}:\sqrt{q}=1:1$ なので、消える点は中点です。

大きさが同じなら、位置の対称性からも同じ結論が出ます。計算する前に答えが見える配置。

比が $1:1$ から離れるほど、消える点は小さい電荷のほうへ寄ります。$1:100$ なら平方根は $1:10$ で、間隔の $\frac{1}{11}$ の位置。

グラフは左の電荷のそばで大きく正、右の電荷のそばで大きく負。連続に減っていくので、途中で $0$ を横切る点がちょうど 1 つあります。

異符号なら外側に出る

符号が違うと、話がひっくり返ります。

あいだの点では、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向き。どちらも同じ側を指すので、内側に消える点はありません。

消えるとしたら外側です。しかも、電荷の小さいほうの外側に限られる。

大きいほうの外側に出ない理由は、距離でも電荷でも大きいほうが勝ってしまうから。逆転する余地がありません。

例：$+2.0\mu \mathrm{C}$ と $-8.0\mu \mathrm{C}$

$x=0$ に $+2.0\mu \mathrm{C}$、$x=0.30\mathrm{m}$ に $-8.0\mu \mathrm{C}$ を置きます。

平方根の比は $\sqrt{2}:\sqrt{8}=1:2$。距離の比が $1:2$ になる点を、小さいほうの外側で探します。

$x<0$ とし、正電荷までの距離を $d$ とすると、負電荷までは $d+0.30$。

$$\frac{d}{d+0.30}=\frac{1}{2}⟹d=0.30\mathrm{m}$$

$x=-0.30\mathrm{m}$ です。値も見ておきます。

$$E_1=9.0\times 10^9\times \frac{2.0\times 10^{-6}}{(0.30{)}^2}=2.0\times 10^{5}N/C$$

$$E_2=9.0\times 10^9\times \frac{8.0\times 10^{-6}}{(0.60{)}^2}=2.0\times 10^{5}N/C$$

正電荷からは左向き、負電荷へは右向き。大きさがそろって打ち消し合います。

電場が消えても電位は消えない

同じ配置で電位が $0$ になる点を探すと、まったく別の場所が出てきます。

電位は向きを持たない量なので、符号つきでそのまま足す^[3]。$\frac{2}{d_1}=\frac{8}{d_2}$、つまり $d_2=4d_1$ が条件です。

あいだで解くと $d_1=0.06\mathrm{m}$、左の外側で解くと $d_1=0.10\mathrm{m}$。$x=0.06\mathrm{m}$ と $x=-0.10\mathrm{m}$ の 2 点でした。

条件式の分母が $r^2$ か $r$ かの違いだけで、答えの位置も個数も変わりました。

検算のしかた

答えが出たら、その位置を 2 つの電場の式に戻して値がそろうかを見ます。比だけで進めると、どちらの側かを間違えても気づきません。

もう 1 つは範囲の確認。同符号なら $0<x<d$、異符号なら区間の外にあるはずです。この向きの条件から外れた答えは、平方根をとるときに符号を落としています。

大きさの等しい異符号は間違いやすい配置です。中点では 2 本がそろって同じ向きになり、そのあたりが最も強くなります。

平方根をとって内分する。同符号なら内側、異符号なら小さいほうの外側。この 3 つを押さえれば、配置が変わっても迷わずに済みます。

出典