ベクトルで三角形の内部の点を表す（面積比と 2 直線の交点）

三角形 $OAB$ の中に引いた 2 本の線分が交わる点を求めます。$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$、$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ と置く。

交点は 2 本の線分のどちらにも乗っているため、同じ点を 2 通りに書けます。書き方が 2 つあるなら、それを等号で結んで係数を比べられる。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が一次独立なら、同じ点の表し方は 1 通りしかありません。だから 2 つの式の $\vec{a}$ の係数どうし、$\vec{b}$ の係数どうしが等しくなる。

未知数は 2 つ、式も 2 つ。数が釣り合うので必ず解けます。

例：線分 AD と BC の交点

三角形 $OAB$ で、辺 $OA$ を $1:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ の中点を $D$ とします。線分 $AD$ と $BC$ の交点を $P$ と置く。

$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\vec{a}$、$\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\vec{b}$ です。$P$ が $AD$ 上にあるとして $AP:PD=s:(1-s)$ と置きます。

$$\overrightarrow{OP}=(1-s)\vec{a}+\frac{s}{2}\vec{b}$$

$P$ は $BC$ 上にもあるので、$BP:PC=t:(1-t)$ と置けば別の形にも書ける。

$$\overrightarrow{OP}=\frac{t}{3}\vec{a}+(1-t)\vec{b}$$

例：係数を比べて連立を解く

$\vec{a}$ の係数から $1-s=\frac{t}{3}$、$\vec{b}$ の係数から $\frac{s}{2}=1-t$。

下の式を $t=1-\frac{s}{2}$ に直し、上へ入れる。

$$\begin{array}{rl}1-s& =\frac{1}{3}\left(1-\frac{s}{2}\right)\\ 6-6s& =2-s\\ 5s& =4\end{array}$$

$s=\frac{4}{5}$、$t=\frac{3}{5}$ になりました。

$$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{5}\vec{a}+\frac{2}{5}\vec{b}$$

$AP:PD=4:1$、$BP:PC=3:2$ です。もう一方の式に $t=\frac{3}{5}$ を入れても同じ答えになるので、そこで検算できます。

例：中線どうしの交点

同じ手順で重心も求められる。辺 $OA$ の中点を $M$、辺 $OB$ の中点を $N$ とし、$AN$ と $BM$ の交点を $G$ とする。

$\overrightarrow{OG}=(1-s)\vec{a}+\frac{s}{2}\vec{b}$ と $\overrightarrow{OG}=\frac{t}{2}\vec{a}+(1-t)\vec{b}$ の 2 通りです。

係数を比べると $1-s=\frac{t}{2}$ と $\frac{s}{2}=1-t$。解けば $s=t=\frac{2}{3}$。

$$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$$

これが重心の位置ベクトルです。$s=\frac{2}{3}$ から、中線が $2:1$ に分かれることも同時に読める。

面積比は係数の比と一致する

点 $P$ が三角形 $ABC$ の内部にあり、正の数 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ について次が成り立つとします。

$$\alpha \overrightarrow{PA}+\beta \overrightarrow{PB}+\gamma \overrightarrow{PC}=\vec{0}$$

このとき、3 つの小さい三角形の面積比が係数の比と一致します。

$$△PBC:△PCA:△PAB=\alpha :\beta :\gamma$$

向かい合わせに読むところが要点です。$\overrightarrow{PA}$ の係数 $\alpha$ に対応するのは、$A$ を含まない $△PBC$ のほう。

始点を $O$ に移すと、位置ベクトルは重みつきの平均になります。

$$\vec{p}=\frac{\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}}{\alpha +\beta +\gamma }$$

例：係数から面積比を読む

$\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=\vec{0}$ なら、係数は $1$、$2$、$3$。

面積比は $△PBC:△PCA:△PAB=1:2:3$ です。全体を $6$ と見ると、それぞれ $\frac{1}{6}$、$\frac{2}{6}$、$\frac{3}{6}$ にあたる。

位置ベクトルは $\vec{p}=\frac{\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}}{6}$。

例：面積比から係数を読む

逆向きにもたどれます。$△PBC:△PCA:△PAB=2:3:4$ という条件なら、係数がそのまま $2$、$3$、$4$。

$$2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+4\overrightarrow{PC}=\vec{0}$$

位置ベクトルは $\frac{2\vec{a}+3\vec{b}+4\vec{c}}{9}$。面積という図形の条件が、ベクトルの等式 1 つに置きかわりました。

例：重心はすべての係数が 1 の場合

重心 $G$ では $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ が成り立ちます。係数はどれも $1$。

面積比は $1:1:1$ で、3 つの小さい三角形の面積が等しくなる。中線が三角形を面積で 3 等分することの言いかえです。

位置ベクトルも $\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ で、重みが等しい平均になる。

例：延長して対辺と交わる点

$\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=\vec{0}$ のもとで、$AP$ の延長と $BC$ の交点を $D$ とします。

$A$ を始点にとると $\overrightarrow{AP}=\frac{2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}}{6}$ で、係数の和は $\frac{5}{6}$。

$D$ は直線 $BC$ 上にあるため、係数の和が $1$ になるまで伸ばします。

$$\overrightarrow{AD}=\frac{6}{5}\overrightarrow{AP}=\frac{2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}}{5}$$

$BD:DC=3:2$、$AP:PD=5:1$。係数の和を $1$ に直す操作が、そのまま延長にあたります。

例：交点の答えから面積比を読む

さきほど求めた交点は $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{5}\vec{a}+\frac{2}{5}\vec{b}$ でした。$O$ にあたる係数は $1-\frac{1}{5}-\frac{2}{5}=\frac{2}{5}$。

3 つの係数は $\frac{2}{5}$、$\frac{1}{5}$、$\frac{2}{5}$ で、比は $2:1:2$ です。

$△PAB:△PBO:△POA=2:1:2$ になる。交点を求めたあと、そのまま面積比まで読めます。

問題文が「交点を求めよ」なら前者、「面積比を求めよ」なら後者。どちらも係数を読む作業に落ちます。

まちがえやすいところ

向かい合わせの対応を、順番どおりに読んでしまう形がいちばん多い。$\overrightarrow{PA}$ の係数は $△PAB$ ではなく、$A$ を含まない $△PBC$ に対応します。

交点の問題では、未知数を 1 つで済ませようとすると立式できません。2 通りに書くから 2 つ置く。

答案では、係数を比べる前に「$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立」と 1 行断ります。ここがないと、係数を比べてよい理由が書かれていないことになる。

同じ点を 2 通りに書く。係数を読む。この 2 つだけで、交点も面積比も決まります。