四面体の体積と垂線の足｜高さが決まれば体積も決まる

四面体 $O A B C$ で $A (3, 0, 0)$ 、 $B (0, 3, 0)$ 、 $C (0, 0, 3)$ とすると、 $O$ から平面 $A B C$ に下ろした垂線の足は $H (1, 1, 1)$ 、高さは $3$ です。

$H$ を決めるのに使う条件は 2 つ。 $H$ が平面 $A B C$ 上にあることと、 $O H$ が $A B$ 、 $A C$ の両方と垂直であることです。

垂線の足が決まる 2 つの条件

垂線の足 $H$ は、次の 2 つをみたす点です。

H

が平面

A B C

上にあります。

O H

が平面上のどの向きとも垂直になります。

1 つ目から $A H = s A B + t A C$ と書けます。未知数は $s$ と $t$ の 2 つ。

2 つ目は、 $A B$ と $A C$ の 2 本にだけ垂直であれば足ります。この 2 本が平面を張るため、ほかの向きとの垂直は自動的に付いてくる。

内積が $0$ の式が 2 つ立ち、未知数 2 つと数が釣り合います。

H を平面上の点として s と t で表す

OH と 2 本の内積を 0 と置く

連立して s と t を求める

例：座標で垂線の足を求める

$A (3, 0, 0)$ 、 $B (0, 3, 0)$ 、 $C (0, 0, 3)$ とします。 $A B = (- 3, 3, 0)$ 、 $A C = (- 3, 0, 3)$ です。

$H = A + s A B + t A C = (3 - 3 s - 3 t, 3 s, 3 t)$ と置く。 $O H$ はこの座標そのものです。

$O H \cdot A B = 0$ から $- 3 (3 - 3 s - 3 t) + 9 s = 0$ 、整理して $2 s + t = 1$ 。

$O H \cdot A C = 0$ から $- 3 (3 - 3 s - 3 t) + 9 t = 0$ 、整理して $s + 2 t = 1$ 。

2 つの式を引くと $s = t$ で、代入して $s = t = \frac{1}{3}$ 。 $H = (1, 1, 1)$ になりました。

例：高さを計算する

$O H = (1, 1, 1)$ だから $∣ O H ∣ = 1 + 1 + 1 = 3$ 。

これが $O$ から平面 $A B C$ までの距離、つまり四面体の高さです。

検算すると $O H \cdot A B = - 3 + 3 + 0 = 0$ 、 $O H \cdot A C = - 3 + 0 + 3 = 0$ 。どちらも $0$ になります。

$B C = (0, - 3, 3)$ との内積も $0 - 3 + 3 = 0$ 。平面上のどの向きとも垂直になっていることが読めました。

四面体の体積

底面積を $S$ 、高さを $h$ とすると、四面体の体積は $\frac{1}{3} S h$ です。

底面が三角形のため、面積はベクトルの公式で求まります。 $A B = p$ 、 $A C = q$ と置く。

$S = \frac{1}{2} ∣ p ∣^{2} ∣ q ∣^{2} - (p \cdot q)^{2}$

平面の三角形で使った式が、そのまま空間でも通ります。大きさと内積しか使っていないためです。

例：底面積を求める

$p = (- 3, 3, 0)$ 、 $q = (- 3, 0, 3)$ です。 $∣ p ∣^{2} = 18$ 、 $∣ q ∣^{2} = 18$ 、 $p \cdot q = 9$ 。

$S = \frac{1}{2} 18 \times 18 - 81 = \frac{1}{2} 243 = \frac{9 3}{2}$

三角形 $A B C$ は 1 辺 $32$ の正三角形だから、 $\frac{3}{4} (32)^{2} = \frac{9 3}{2}$ でも同じ値になります。

例：体積を求める

$S = \frac{9 3}{2}$ 、 $h = 3$ を入れます。

$V = \frac{1}{3} \times \frac{9 3}{2} \times 3 = \frac{1}{3} \times \frac{27}{2} = \frac{9}{2}$

体積は $\frac{9}{2}$ 。根号どうしが打ち消し合って、整った値に落ちました。

例：別の面を底面にとる

面 $O A B$ を底面にすると、 $O$ 、 $A$ 、 $B$ はどれも $z = 0$ の上にあるため直角三角形になります。

canvas: 置き場が受け取りませんでした

面積は $\frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$ 。高さは $C$ の $z$ 座標で $3$ です。

$V = \frac{1}{3} \times \frac{9}{2} \times 3 = \frac{9}{2}$

同じ値になりました。底面をとりやすい面に替えると、計算が短くなる。

垂線の足を求めるのは、底面をとり替えられないときの手です。座標軸に沿う面が見つかるなら、そちらを先に探します。

例：直線と平面が垂直な条件

直線が平面と垂直になるのは、平面上で交わる 2 本の直線と垂直なときです。

3 本目や 4 本目まで確かめる必要はありません。平面上のどの向きも、その 2 本の組み合わせで書けるからです。

$B C = A C - A B$ なので、 $O H \cdot B C = 0$ は前の 2 つから導けます。

垂線の足から高さを求める

どんな四面体でも使える。連立を 1 回解く

座標軸に沿う面を底面にとる

軸に沿う面があるときだけ使える。高さが座標そのものになる

$O$ から平面 $A B C$ へ下ろした垂線の足を求めるとき、内積が $0$ の式はいくつ立てますか。

1 つ
2 つ
3 つ

__RESULT__

平面を張るのは $A B$ と $A C$ の 2 本だから、この 2 本との内積で足ります。未知数も $s$ と $t$ の 2 つで、数が釣り合う。

まちがえやすいところ

垂線の条件を 3 つ立ててしまう形が目につきます。 $B C$ との垂直は、ほかの 2 つから導けるため不要です。

$H$ を平面上の点として置くところを飛ばすと、未知数が 3 つになって式が足りなくなります。平面上という条件を、先に $s$ と $t$ の形で使います。

底面の選び方でも手数が変わる。座標軸に沿う面があれば、高さが座標のまま読めて垂線を求めずに済みます。

$A(3,\ 0,\ 0)$、$B(0,\ 3,\ 0)$、$C(0,\ 0,\ 3)$ のとき、$O$ から平面 $ABC$ への垂線の足は $H(1,\ 1,\ 1)$、高さは $\sqrt{3}$ です。使う条件は 2 つで、$H$ が平面上にあることから未知数 2 つ、$\overrightarrow{OH}$ が $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ に垂直であることから式 2 つ。数が釣り合うので解けます。平面を張る 2 本だけ調べれば足りる理由も、そこにある。底面積は平面と同じ $\dfrac{1}{2}\sqrt{|\vec{p}|^2|\vec{q}|^2-(\vec{p}\cdot\vec{q})^2}$ で求まり、体積は $\dfrac{9}{2}$。座標軸に沿う面を底面にとる速い道まで。