大きさの 2 乗を計算するだけ……ベクトルによる等式と不等式の証明

中線定理 $A{B}^2+A{C}^2=2(A{M}^2+B{M}^2)$ は、$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2+|\vec{a}-\vec{b}{|}^2$ を展開するだけで出ます^[1]。

図に補助線を引いたり、合同な三角形を探したりする必要はありません。長さを 2 乗して内積に直すと、余分な項が打ち消し合う。

不等式も同じ手つきで進みます。$|\vec{a}+\vec{b}|\le |\vec{a}|+|\vec{b}|$ は、両辺を 2 乗して差をとると $\vec{a}\cdot \vec{b}\le |\vec{a}||\vec{b}|$ に落ちる^[2]。

証明の型は 1 つ

図形の等式を証明するときは、始点を 1 つ決めて、出てくる長さをすべて位置ベクトルで書き直します。

長さは 2 乗して内積に直す。あとは展開して、左辺と右辺が同じ式になることを見るだけ^[3]。

始点の選び方で計算量が変わります。中点や重心のように、対称性のある点を始点にとると項が減る。

例：中線定理

三角形 $ABC$ で辺 $BC$ の中点を $M$ とします。$M$ を始点にとり、$\overrightarrow{MA}=\vec{a}$、$\overrightarrow{MB}=\vec{b}$ とおく。

$M$ は中点なので $\overrightarrow{MC}=-\vec{b}$ です。ここが計算を軽くする鍵になります。

$$\begin{array}{rl}A{B}^2+A{C}^2& =|\vec{b}-\vec{a}{|}^2+|-\vec{b}-\vec{a}{|}^2\\ & =|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2+|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2\\ & =2\left(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2\right)\end{array}$$

$|\vec{a}|=AM$、$|\vec{b}|=BM$ なので、これがそのまま中線定理です。内積の項が符号違いで消えています。

例：平行四辺形の 4 辺と対角線

平行四辺形の 4 辺の 2 乗の和は、2 本の対角線の 2 乗の和に等しくなります^[1]。

隣り合う 2 辺を $\vec{a}$、$\vec{b}$ とすると、対角線は $\vec{a}+\vec{b}$ と $\vec{a}-\vec{b}$ です。

$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2+|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=2|\vec{a}{|}^2+2|\vec{b}{|}^2$$

右辺は 4 辺の 2 乗の和と同じ。中線定理とまったく同じ計算で、見え方だけが違います。

例：菱形の対角線が直交する

4 辺が等しい平行四辺形では $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ です。対角線どうしの内積を計算します。

$(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2=0$ になる。

内積が $0$ なので 2 本の対角線は垂直です。等式の証明と垂直の証明は、同じ展開で片づきます。

例：中点連結定理

三角形 $ABC$ で、辺 $AB$ の中点を $M$、辺 $AC$ の中点を $N$ とします。$A$ を始点にとる。

$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ です。引き算します。

$$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$$

$\overrightarrow{MN}$ が $\overrightarrow{BC}$ の定数倍なので平行、係数が $\frac{1}{2}$ なので長さは半分。平行と長さの両方が 1 行で出ます。

この証明では 2 乗すら使いません。長さと向きの両方が要る主張では、ベクトルのまま比べるほうが速い。

不等式は 2 乗の差を見る

不等式では、両辺とも $0$ 以上であることを先に確かめます。そのうえで 2 乗して差をとる。

$X\ge 0$、$Y\ge 0$ のとき、$X\le Y$ と $X^2\le Y^2$ は同じ意味になります。大きさは必ず $0$ 以上なので、この言いかえがいつでも使える。

差が $0$ 以上であることを示せば証明が終わります。等号が成り立つ条件も、差が $0$ になる場合として同時に出る。

例：三角不等式

$|\vec{a}+\vec{b}|\le |\vec{a}|+|\vec{b}|$ を示します^[2]。右辺の 2 乗から左辺の 2 乗を引く。

$$\begin{array}{rl}{\left(|\vec{a}|+|\vec{b}|\right)}^2-|\vec{a}+\vec{b}{|}^2& =|\vec{a}{|}^2+2|\vec{a}||\vec{b}|+|\vec{b}{|}^2\\ & -\left(|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2\right)\\ & =2\left(|\vec{a}||\vec{b}|-\vec{a}\cdot \vec{b}\right)\end{array}$$

$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ で $\cos \theta \le 1$ なので、$\vec{a}\cdot \vec{b}\le |\vec{a}||\vec{b}|$。差は $0$ 以上になります。

三角形の 2 辺の和が残りの 1 辺より長い、という事実がこの形です。

例：等号が成り立つとき

差が $0$ になるのは $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|$、つまり $\cos \theta =1$ のときです。

$\theta =0^{\circ }$ なので、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が同じ向き。$\vec{b}=k\vec{a}$（$k>0$）と書ける場合になります^[2]。

平行でも向きが逆なら等号は成り立ちません。「平行なとき」ではなく「同じ向きのとき」と書きます。

どちらかが $\vec{0}$ のときも等号が成り立つ。答案では、この場合を別に断るか、$k\ge 0$ の形にまとめます。

例：引き算の形の不等式

$|\vec{a}|-|\vec{b}|\le |\vec{a}-\vec{b}|$ を示します。$\vec{a}$ を分けて書くのがこつ。

$\vec{a}=(\vec{a}-\vec{b})+\vec{b}$ とみて、三角不等式を当てます。$|\vec{a}|\le |\vec{a}-\vec{b}|+|\vec{b}|$ です。

$|\vec{b}|$ を移項すると $|\vec{a}|-|\vec{b}|\le |\vec{a}-\vec{b}|$。すでに示した不等式を使い回す形になります。

左辺が負になる場合もありますが、右辺は $0$ 以上なので不等式は成り立つ。両辺を 2 乗する道は、ここでは使えません。

コーシー・シュワルツの不等式

内積の絶対値は、大きさの積を超えません^[2]。

$$|\vec{a}\cdot \vec{b}|\le |\vec{a}||\vec{b}|$$

$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ で、$|\cos \theta |\le 1$ だから、というのがいちばん短い説明になります。

等号は $\cos \theta =\pm 1$ のとき、つまり $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行なとき。三角不等式のときと違い、向きが逆でも等号が成り立ちます。

例：成分で書き直す

$\vec{a}=(a_1,a_2)$、$\vec{b}=(b_1,b_2)$ を入れると、次の形になります。

$$(a_1{b}_1+a_2{b}_2{)}^2\le \left(a_1^2+a_2^2\right)\left(b_1^2+b_2^2\right)$$

文字式だけを見ると証明の見当がつきにくい不等式ですが、ベクトルで読むと $|\cos \theta |\le 1$ にすぎません。

$a_1=1$、$a_2=2$、$b_1=3$、$b_2=1$ なら、左辺は $25$、右辺は $5\times 10=50$。たしかに成り立っています。

例：等式と不等式を組み合わせる

$|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$ で、$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{3}$ のとき、$|\vec{a}-\vec{b}|$ を求めます。

平行四辺形の法則から $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2+|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=2(1+1)=4$。

$3+|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=4$ なので $|\vec{a}-\vec{b}|=1$ です。展開の等式を使うと、内積を経由せずに答えが出ます。

三角不等式の側から見ると $|\vec{a}+\vec{b}|\le 2$。$\sqrt{3}$ はこの範囲に収まっており、条件に矛盾がないことも確かめられる。

等式と不等式の違い

不等式では、どこで等号が成り立つかまで書いて答案が完成します。差が $0$ になる条件を最後に確かめます。

よくある誤り

長さは 2 乗、不等式は差。この 2 つの型に載せると、図形の証明が計算の作業になります。

参考文献

^[1] が平行四辺形の法則と中線との関係、^[2] がコーシー・シュワルツの不等式と三角不等式および等号の条件、^[3] が内積の展開規則、^[4] が大きさと内積の対応です。