ベクトルの式は文字式と同じに動かせる、ただし比べられるのは一次独立なとき

$3\vec{x}-\vec{a}=\vec{x}+2\vec{b}$ を $\vec{x}$ について解くと、$\vec{x}=\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}$ になります。

移項して、まとめて、両辺を $2$ で割る。文字式の方程式とまったく同じ手順です^[1]。

割り算だけは注意が要ります。ベクトルどうしの割り算はできないので、割れるのは実数だけ。それ以外は文字式の規則がそのまま通ります。

文字式と同じ規則で動かせる

和と実数倍については、ベクトルは文字式と同じ規則に従います^[1,3]。

使えないのは、ベクトルどうしの掛け算と割り算です。内積は掛け算に似ていますが、答えが実数になるので別物になる。

$\frac{\vec{a}}{\vec{b}}$ のような式は書けません。$\frac{\vec{a}}{3}$ なら、$\frac{1}{3}\vec{a}$ という実数倍のことです。

例：括弧を外して整理する

$2(\vec{a}+3\vec{b})-3(\vec{a}-\vec{b})$ を計算します。

$$\begin{array}{rl}& =2\vec{a}+6\vec{b}-3\vec{a}+3\vec{b}\\ & =(2-3)\vec{a}+(6+3)\vec{b}\\ & =-\vec{a}+9\vec{b}\end{array}$$

$\vec{a}$ の項と $\vec{b}$ の項を別々にまとめる。$-3$ を掛けるときの符号の反転が、いちばん間違えやすいところです。

例：x について解く

$3\vec{x}-\vec{a}=\vec{x}+2\vec{b}$ を解きます。$\vec{x}$ を左辺、それ以外を右辺へ移します。

$3\vec{x}-\vec{x}=\vec{a}+2\vec{b}$ から $2\vec{x}=\vec{a}+2\vec{b}$。両辺を $2$ で割ります。

$$\vec{x}=\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}$$

$2$ は実数なので割れます。答えは $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の実数倍の和の形にそろえる。

例：分数の係数を払う

$\frac{\vec{x}+\vec{a}}{2}=\frac{\vec{x}-\vec{b}}{3}$ を解きます。両辺に $6$ を掛けて分母を払う。

$3(\vec{x}+\vec{a})=2(\vec{x}-\vec{b})$ となり、展開して $3\vec{x}+3\vec{a}=2\vec{x}-2\vec{b}$。

$\vec{x}=-3\vec{a}-2\vec{b}$ です。分母を払う手順まで、数の方程式と変わりません。

例：連立して解く

$\vec{x}+\vec{y}=\vec{a}$、$\vec{x}-\vec{y}=\vec{b}$ を解きます。2 式を足すと $\vec{y}$ が消える。

$2\vec{x}=\vec{a}+\vec{b}$ から $\vec{x}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$。引くと $\vec{y}=\frac{\vec{a}-\vec{b}}{2}$ です。

加減法も代入法も使えます。文字がベクトルに変わっただけ。

例：係数が付いた連立

$2\vec{x}+3\vec{y}=\vec{a}$、$\vec{x}-\vec{y}=\vec{b}$ とします。下の式から $\vec{x}=\vec{y}+\vec{b}$。

上に代入すると $2(\vec{y}+\vec{b})+3\vec{y}=\vec{a}$、つまり $5\vec{y}=\vec{a}-2\vec{b}$ です。

$\vec{y}=\frac{\vec{a}-2\vec{b}}{5}$、$\vec{x}=\frac{\vec{a}+3\vec{b}}{5}$ になります。$2\vec{x}+3\vec{y}$ に戻して $\vec{a}$ になるか確かめられる。

一次独立なら係数を比べられる

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ がどちらも $\vec{0}$ でなく、平行でもないとき、この 2 つは一次独立であるといいます^[2,4]。

一次独立なら、$s\vec{a}+t\vec{b}=\vec{0}$ が成り立つのは $s=t=0$ のときに限られます。

だから 2 つの表し方が一致したとき、係数どうしを比べられる。

$$s\vec{a}+t\vec{b}=s^{\prime }\vec{a}+t^{\prime }\vec{b}⟹s=s^{\prime },t=t^{\prime }$$

平面上の点を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す方法が 1 通りに決まる、ということでもあります^[4]。

例：係数を比べて未知数を出す

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が一次独立で、$(s+2t)\vec{a}+(3s-t)\vec{b}=5\vec{a}+\vec{b}$ が成り立つとします。

係数を比べると $s+2t=5$ と $3s-t=1$。下の式から $t=3s-1$ です。

上に代入して $s+2(3s-1)=5$、つまり $7s=7$ から $s=1$、$t=2$ になります。

ベクトルの 1 本の等式が、実数の連立方程式 2 本に化ける。これが一次独立を使う理由です。

例：一次独立でないと比べられない

$\vec{b}=2\vec{a}$ の場合を考えます。このとき $s\vec{a}+t\vec{b}=(s+2t)\vec{a}$ です。

$\vec{a}$ の係数 $s+2t$ さえ合っていれば式は成り立ちます。$(s,t)=(1,0)$ でも $(3,-1)$ でも同じ点を指す。

係数の組が 1 通りに決まらないので、比べる操作が成り立ちません。答案では「$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立だから」と断ってから比べます。

$\vec{a}=\vec{0}$ のときも同じで、$s$ が何であっても $s\vec{a}=\vec{0}$。$\vec{0}$ でないことも条件に入ります^[2]。

例：成分で確かめる

$\vec{a}=(1,2)$、$\vec{b}=(3,1)$ とします。平行ではないので一次独立です。

$(5,5)$ を $s\vec{a}+t\vec{b}$ の形で表します。成分ごとに式を立てる。

$$\begin{array}{rl}s+3t& =5\\ 2s+t& =5\end{array}$$

下の式から $t=5-2s$。上に入れると $s+15-6s=5$ で $s=2$、$t=1$ です。

$2(1,2)+1(3,1)=(5,5)$ で合っています。組は 1 通りしかありません^[4]。

例：分解の問題を連立で解く

$\vec{p}=(7,4)$ を同じ $\vec{a}$、$\vec{b}$ で表します。$s+3t=7$、$2s+t=4$ です。

$t=4-2s$ を上に入れると $s+12-6s=7$、$-5s=-5$ から $s=1$、$t=2$。

$\vec{p}=\vec{a}+2\vec{b}$ になります。どんな点でも、この連立を解けば係数が出る。

例：一次独立を確かめてから比べる

$\vec{a}=(1,2)$、$\vec{b}=(3,1)$ が平行かどうかを見ます。$\vec{b}=k\vec{a}$ とおくと $3=k$ かつ $1=2k$。

$k=3$ と $k=\frac{1}{2}$ で食い違うので、平行ではありません。よって一次独立です。

成分では $1\times 1-2\times 3=-5$ が $0$ でないことでも判定できます。$0$ なら平行になる。

2 つの進め方

ベクトルのままなら式が短く、成分に落とせば手が止まりません。与えられた情報で選びます。

よくある誤り

和と実数倍だけなら文字式と同じ。比べる操作にだけ、一次独立という条件が要ります。

参考文献

^[1] が和と実数倍の規則、^[2] が一次独立の定義と係数が $0$ に限られる条件、^[3] が計算規則の整理、^[4] が平行でない 2 本による表し方が 1 通りになることです。