4 点が同じ平面上にある条件、空間ベクトルの共面条件を式で書く

4 点 $A$、$B$、$C$、$D$ が同じ平面に乗るのは、$\overrightarrow{AD}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$ となる実数 $s$、$t$ があるときです。

平面は 2 本のベクトルで張られます。3 本目がその 2 本の組み合わせで書けてしまえば、平面から外へ出ていない。

3 点が一直線上にあるときは、条件が 1 つ足りません。$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ が平行でないことを、先に確かめます。

平面は 2 本で張られる

$A$ を始点にとり、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の 2 本を用意します。この 2 本が平行でなければ、平面が 1 つ決まる。

その平面上の点 $P$ は、実数 $s$、$t$ を使って次のように書けます。

$$\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$$

平面の中では基準が 2 本で足ります。空間全体には 3 本がいりましたが、平面 1 枚なら 2 本。

$D$ が平面上にあるかどうかは、$\overrightarrow{AD}$ をこの形に書けるかどうかで決まります。

例：成分で判定する

$A(1,0,0)$、$B(0,1,0)$、$C(0,0,1)$、$D(1,1,-1)$ を調べる。

$\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)$、$\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)$、$\overrightarrow{AD}=(0,1,-1)$ です。

$s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ を成分で書きます。

$$\begin{array}{rl}-s-t& =0\\ s& =1\\ t& =-1\end{array}$$

$y$ 成分から $s=1$、$z$ 成分から $t=-1$。$x$ 成分に入れると $-1+1=0$ で成り立ちます。

3 つ目の式まで合ったので、4 点は同一平面上にある。

例：同一平面上にない場合

$D$ を $(1,1,1)$ に替えます。$\overrightarrow{AD}=(0,1,1)$。

$y$ 成分から $s=1$、$z$ 成分から $t=1$ です。$x$ 成分は $-1-1=-2$ となり、$0$ になりません。

食い違うので、この 4 点は同一平面上にない。四面体ができます。

未知数 2 つに式 3 つ。3 つ目が余るところが、判定の仕組みになっています。

例：同一平面上になるように文字を決める

$D(1,1,k)$ が平面 $ABC$ 上にある $k$ を求める。$\overrightarrow{AD}=(0,1,k)$ です。

$y$ 成分から $s=1$、$z$ 成分から $t=k$。$x$ 成分の式 $-s-t=0$ に入れます。

$-1-k=0$ から $k=-1$。文字が 1 つなら、余った式が方程式として働きます。

係数の和が 1 の形

原点 $O$ をとり、位置ベクトルで書き直します。$\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$ を展開する。

$\vec{p}-\vec{a}=s(\vec{b}-\vec{a})+t(\vec{c}-\vec{a})$ を整理すると、次の形になります。

$$\vec{p}=(1-s-t)\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c}$$

3 つの係数の和は $1$。平面上の点は、係数の和が $1$ になる組み合わせで書けます。

直線のときは 2 つの係数の和が $1$ でした。平面では 3 つに増えます。

例：和が 1 かどうかで判定する

$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{6}\vec{c}$ とします。係数の和は $\frac{3+2+1}{6}=1$。

$P$ は平面 $ABC$ 上にあります。3 つとも正だから、三角形 $ABC$ の内部にある。

$\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}$ なら和は $\frac{13}{12}$ です。$1$ ではないため平面上にありません。

例：平面上にあることから文字を決める

四面体 $OABC$ で $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\vec{a}+t\vec{b}+\frac{1}{4}\vec{c}$ が平面 $ABC$ 上にあるとする。

和が $1$ になればよいので $\frac{1}{2}+t+\frac{1}{4}=1$。移項して $t=\frac{1}{4}$ です。

未知数が 1 つなら、和の条件だけで決まります。空間でも手順は直線のときと変わらない。

例：辺上の点で作った平面

四面体 $OABC$ で、辺 $OA$ の中点を $L$、辺 $OB$ を $1:2$ に内分する点を $M$、辺 $OC$ の中点を $N$ とします。

$\overrightarrow{OL}=\frac{1}{2}\vec{a}$、$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\vec{b}$、$\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}\vec{c}$ です。

平面 $LMN$ 上の点は $\alpha \overrightarrow{OL}+\beta \overrightarrow{OM}+\gamma \overrightarrow{ON}$ で、$\alpha +\beta +\gamma =1$ の形。

$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ で書き直すと、係数は $\frac{\alpha }{2}$、$\frac{\beta }{3}$、$\frac{\gamma }{2}$ になります。

基準を入れかえても、和が $1$ という条件はその基準に対して成り立つ。どの 3 点を使っているかを見失わないようにします。

例：3 点が一直線上だと平面が決まらない

$A(1,0,0)$、$B(2,0,0)$、$C(3,0,0)$ を考えます。3 点とも $x$ 軸上にある。

$\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$、$\overrightarrow{AC}=(2,0,0)$ で、$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}$。平行です。

この 2 本ではどう組み合わせても $x$ 軸から出られません。平面が 1 枚に決まらないため、共面の条件も使えない。

判定の前に、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ が平行でないことを確かめます。

座標が与えられているなら成分、位置ベクトルで書かれているなら和。問題の形に合わせて選びます。

まちがえやすいところ

未知数 2 つに式が 3 つ並ぶところで、2 つ解いて終わりにする形が多い。3 つ目に代入して合うかどうかまでが判定です。

係数の和で見るときは、どの 3 点を基準にしているかをとり違えやすくなります。$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ の和が $1$ なら平面 $ABC$、$\overrightarrow{OL}$ たちの和が $1$ なら平面 $LMN$。

3 点が一直線上に並んでいると、そもそも平面が決まりません。$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ が平行でないことを、判定の前に見ておきます。