4 点が同じ平面上にある条件、空間ベクトルの共面条件を式で書く

4 点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ が同じ平面に乗るのは、 $A D = s A B + t A C$ となる実数 $s$ 、 $t$ があるときです。

平面は 2 本のベクトルで張られます。3 本目がその 2 本の組み合わせで書けてしまえば、平面から外へ出ていない。

3 点が一直線上にあるときは、条件が 1 つ足りません。 $A B$ と $A C$ が平行でないことを、先に確かめます。

平面は 2 本で張られる

$A$ を始点にとり、 $A B$ と $A C$ の 2 本を用意します。この 2 本が平行でなければ、平面が 1 つ決まる。

その平面上の点 $P$ は、実数 $s$ 、 $t$ を使って次のように書けます。

$A P = s A B + t A C$

平面の中では基準が 2 本で足ります。空間全体には 3 本がいりましたが、平面 1 枚なら 2 本。

$D$ が平面上にあるかどうかは、 $A D$ をこの形に書けるかどうかで決まります。

例：成分で判定する

$A (1, 0, 0)$ 、 $B (0, 1, 0)$ 、 $C (0, 0, 1)$ 、 $D (1, 1, - 1)$ を調べる。

$A B = (- 1, 1, 0)$ 、 $A C = (- 1, 0, 1)$ 、 $A D = (0, 1, - 1)$ です。

$s A B + t A C = A D$ を成分で書きます。

$- s - t s t = 0 = 1 = - 1$

$y$ 成分から $s = 1$ 、 $z$ 成分から $t = - 1$ 。 $x$ 成分に入れると $- 1 + 1 = 0$ で成り立ちます。

3 つ目の式まで合ったので、4 点は同一平面上にある。

例：同一平面上にない場合

$D$ を $(1, 1, 1)$ に替えます。 $A D = (0, 1, 1)$ 。

$y$ 成分から $s = 1$ 、 $z$ 成分から $t = 1$ です。 $x$ 成分は $- 1 - 1 = - 2$ となり、 $0$ になりません。

食い違うので、この 4 点は同一平面上にない。四面体ができます。

未知数 2 つに式 3 つ。3 つ目が余るところが、判定の仕組みになっています。

例：同一平面上になるように文字を決める

$D (1, 1, k)$ が平面 $A B C$ 上にある $k$ を求める。 $A D = (0, 1, k)$ です。

$y$ 成分から $s = 1$ 、 $z$ 成分から $t = k$ 。 $x$ 成分の式 $- s - t = 0$ に入れます。

$- 1 - k = 0$ から $k = - 1$ 。文字が 1 つなら、余った式が方程式として働きます。

係数の和が 1 の形

原点 $O$ をとり、位置ベクトルで書き直します。 $A P = s A B + t A C$ を展開する。

$p - a = s (b - a) + t (c - a)$ を整理すると、次の形になります。

$p = (1 - s - t) a + s b + t c$

3 つの係数の和は $1$ 。平面上の点は、係数の和が $1$ になる組み合わせで書けます。

直線のときは 2 つの係数の和が $1$ でした。平面では 3 つに増えます。

例：和が 1 かどうかで判定する

$O P = \frac{1}{2} a + \frac{1}{3} b + \frac{1}{6} c$ とします。係数の和は $\frac{3 + 2 + 1}{6} = 1$ 。

$P$ は平面 $A B C$ 上にあります。3 つとも正だから、三角形 $A B C$ の内部にある。

$O Q = \frac{1}{2} a + \frac{1}{3} b + \frac{1}{4} c$ なら和は $\frac{13}{12}$ です。 $1$ ではないため平面上にありません。

例：平面上にあることから文字を決める

四面体 $O A B C$ で $O P = \frac{1}{2} a + t b + \frac{1}{4} c$ が平面 $A B C$ 上にあるとする。

和が $1$ になればよいので $\frac{1}{2} + t + \frac{1}{4} = 1$ 。移項して $t = \frac{1}{4}$ です。

未知数が 1 つなら、和の条件だけで決まります。空間でも手順は直線のときと変わらない。

例：辺上の点で作った平面

四面体 $O A B C$ で、辺 $O A$ の中点を $L$ 、辺 $O B$ を $1 : 2$ に内分する点を $M$ 、辺 $O C$ の中点を $N$ とします。

$O L = \frac{1}{2} a$ 、 $O M = \frac{1}{3} b$ 、 $O N = \frac{1}{2} c$ です。

平面 $L M N$ 上の点は $α O L + β O M + γ O N$ で、 $α + β + γ = 1$ の形。

$a$ 、 $b$ 、 $c$ で書き直すと、係数は $\frac{α}{2}$ 、 $\frac{β}{3}$ 、 $\frac{γ}{2}$ になります。

基準を入れかえても、和が $1$ という条件はその基準に対して成り立つ。どの 3 点を使っているかを見失わないようにします。

例：3 点が一直線上だと平面が決まらない

$A (1, 0, 0)$ 、 $B (2, 0, 0)$ 、 $C (3, 0, 0)$ を考えます。3 点とも $x$ 軸上にある。

$A B = (1, 0, 0)$ 、 $A C = (2, 0, 0)$ で、 $A C = 2 A B$ 。平行です。

この 2 本ではどう組み合わせても $x$ 軸から出られません。平面が 1 枚に決まらないため、共面の条件も使えない。

判定の前に、 $A B$ と $A C$ が平行でないことを確かめます。

成分で立てる

$s A B + t A C = A D$ を 3 つの式にする。2 つで解いて 3 つ目が合うかを見る

係数の和で見る

$p = x a + y b + z c$ の形で $x + y + z = 1$ かどうかを見る

座標が与えられているなら成分、位置ベクトルで書かれているなら和。問題の形に合わせて選びます。

$O P = \frac{1}{3} a + \frac{1}{2} b + t c$ が平面 $A B C$ 上にあるとき、 $t$ の値はどれですか。

$\frac{1}{5}$
$\frac{1}{6}$
$\frac{5}{6}$

__RESULT__

係数の和が $1$ になればよいので $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + t = 1$ です。 $\frac{5}{6} + t = 1$ から $t = \frac{1}{6}$ 。 $\frac{5}{6}$ は足した値のほうで、 $t$ ではありません。

まちがえやすいところ

未知数 2 つに式が 3 つ並ぶところで、2 つ解いて終わりにする形が多い。3 つ目に代入して合うかどうかまでが判定です。

係数の和で見るときは、どの 3 点を基準にしているかをとり違えやすくなります。 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の和が $1$ なら平面 $A B C$ 、 $O L$ たちの和が $1$ なら平面 $L M N$ 。

3 点が一直線上に並んでいると、そもそも平面が決まりません。 $A B$ と $A C$ が平行でないことを、判定の前に見ておきます。

4 点が同じ平面に乗るのは、$\overrightarrow{AD}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$ となる実数 $s$、$t$ があるときです。平面は 2 本のベクトルで張られるため、3 本目がその組み合わせで書けてしまえば平面から外へ出ていない。未知数 2 つに式 3 つなので、2 つで解いてから残る 1 つが合うかを見ます。位置ベクトルに直すと $(1-s-t)\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c}$ となり、係数の和が $1$ という形に変わる。直線のときは 2 つ、平面では 3 つに増えます。$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ が平行だと平面が決まらない点まで。