円のベクトル方程式と接線の式（距離が一定という 1 行から導く）

中心 $C$、半径 $r$ の円は $|\vec{p}-\vec{c}|=r$ と書けます。中心からの距離が変わらない点の集まり、という定義をそのまま式にした形。

どの向きへ引いても、中心までの長さは同じ $r$ です。この一定さだけが円を決めています。

2 乗して内積に直す

$|\vec{p}-\vec{c}|=r$ のままでは、展開も代入もできません。大きさは足し算に乗らないためです。

そこで両辺を 2 乗します。大きさの 2 乗は、自分自身との内積。

$$(\vec{p}-\vec{c})\cdot (\vec{p}-\vec{c})=r^2$$

$r$ は $0$ 以上だから、2 乗しても情報は失われません。左辺を展開すると $|\vec{p}{|}^2-2\vec{c}\cdot \vec{p}+|\vec{c}{|}^2=r^2$ になる。

ここから先は、すべて内積の計算になります。円の問題で最初にする作業は、たいていこの 2 乗です。

成分にすると円の方程式

$\vec{c}=(a,b)$、$\vec{p}=(x,y)$ と置きます。$\vec{p}-\vec{c}=(x-a,y-b)$ です。

大きさの 2 乗は成分の 2 乗の和だから、そのまま書き下せる。

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$$

見慣れた円の方程式が現れました。ベクトルの式と座標の式は、同じものを別の記号で書いたものです。

例：中心と半径から式を書く

中心 $(2,-1)$、半径 $3$ の円を書きます。

$(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$ です。$b=-1$ だから $y-(-1)=y+1$ となる。符号を落とすと、中心が $(2,1)$ の別の円になってしまいます。

展開すると $x^2+y^2-4x+2y-4=0$。展開した形からでも、平方完成すれば中心と半径に戻せます。

例：原点が中心のとき

中心が原点なら $\vec{c}=\vec{0}$ で、式は $|\vec{p}|=r$ に縮む。

成分では $x^2+y^2=r^2$ です。半径 $5$ なら $x^2+y^2=25$。

いちばん単純な形なため、接線の計算もここから始めると見通しがよくなります。

直径の両端で書く

$A$、$B$ を直径の両端とします。円周上の点 $P$ から $A$ と $B$ を見た角は直角になる。半円に対する円周角が直角になるという、あの性質です。

緑の印はどれも直角です。$P$ を円周のどこにとっても、$\overrightarrow{PA}$ と $\overrightarrow{PB}$ の内積が $0$ になります。

$$(\vec{p}-\vec{a})\cdot (\vec{p}-\vec{b})=0$$

$P$ が $A$ や $B$ に重なるときは片方が $\vec{0}$ になり、内積はやはり $0$。両端も含めて、この 1 つの式で足ります。

例：直径の両端から円の方程式へ

$A(1,2)$、$B(5,4)$ を直径の両端とする円を求める。

$(x-1)(x-5)+(y-2)(y-4)=0$ と置いて展開します。$x^2-6x+5+y^2-6y+8=0$ です。

整理して $x^2+y^2-6x-6y+13=0$。この形のまま答えてもよく、中心と半径がいるなら平方完成します。

例：直径型と中心半径型を行き来する

$x^2+y^2-6x-6y+13=0$ を平方完成します。$(x-3{)}^2-9+(y-3{)}^2-9+13=0$ です。

$(x-3{)}^2+(y-3{)}^2=5$ となり、中心 $(3,3)$、半径 $\sqrt{5}$。

中心は $A$ と $B$ の中点 $\left(\frac{1+5}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(3,3)$ と一致します。半径は $\frac{|AB|}{2}=\frac{\sqrt{16+4}}{2}=\sqrt{5}$ で、こちらも合う。

接線は半径に垂直

接線は、接点を通り半径に垂直な直線です。垂直という条件は、また内積が $0$。

接点を $T$、中心を $C$ とすると、接線上の点 $P$ について $\overrightarrow{CT}$ と $\overrightarrow{TP}$ が垂直になります。

$$(\vec{t}-\vec{c})\cdot (\vec{p}-\vec{t})=0$$

右辺に r の 2 乗が残る理由

この式のままでは、接点が両方の括弧に入っていて扱いにくい。$\vec{p}-\vec{t}$ を、中心からの差 2 つに割ります。

$$\vec{p}-\vec{t}=(\vec{p}-\vec{c})-(\vec{t}-\vec{c})$$

これを代入して展開します。

$$\begin{array}{rl}(\vec{t}-\vec{c})\cdot \{(\vec{p}-\vec{c})-(\vec{t}-\vec{c})\}& =0\\ (\vec{t}-\vec{c})\cdot (\vec{p}-\vec{c})-|\vec{t}-\vec{c}{|}^2& =0\end{array}$$

$T$ は円周上の点だから $|\vec{t}-\vec{c}|=r$。右へ移すと $r^2$ が残ります。

$$(\vec{t}-\vec{c})\cdot (\vec{p}-\vec{c})=r^2$$

成分で書けば、円 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 上の点 $(x_0,y_0)$ における接線の式になる。

$$(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$$

右辺が $0$ でないのは、$|\vec{t}-\vec{c}{|}^2$ を移項したためです。接点の座標が片方だけ残るのも、$\vec{t}-\vec{c}$ と $\vec{p}-\vec{c}$ の内積という形から来ています。

例：原点中心の円の接線

円 $x^2+y^2=25$ の点 $(3,4)$ における接線を求めます。中心が原点で $a=b=0$。

公式に入れると $3x+4y=25$ です。接点の座標が、そのまま $x$ と $y$ の係数になります。

一般に $x^2+y^2=r^2$ 上の点 $(x_0,y_0)$ での接線は $x_{0}x+y_{0}y=r^2$。ベクトルで書けば $\vec{t}\cdot \vec{p}=r^2$ で、接点の位置ベクトルとの内積が一定という直線になる。

例：中心がずれた円の接線

円 $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=10$ の点 $(4,-1)$ における接線を求める。

まず接点が円周上にあるかを確かめます。$(4-1{)}^2+(-1+2{)}^2=9+1=10$ で合っている。

公式に入れると $(4-1)(x-1)+(-1+2)(y+2)=10$、つまり $3(x-1)+(y+2)=10$ です。

展開して $3x+y=11$。検算として中心 $(1,-2)$ から $3x+y-11=0$ までの距離を測ると $\frac{|3-2-11|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$ となり、半径に一致しました。

例：外部の点から接点までの長さ

$C$、$T$、$P$ を結ぶと、$T$ が直角の直角三角形になります。三平方の定理から接線の長さが決まる。

$CT=r$ で $\angle CTP=90^{\circ }$ だから、$P{T}^2=C{P}^2-r^2$ です。

点 $(7,1)$ と円 $x^2+y^2=25$ で計算します。$C{P}^2=49+1=50$、$r^2=25$。

$$PT=\sqrt{50-25}=5$$

図の 2 つの接点まで、どちらも $5$ です。接点がどこにあっても $CP$ と $r$ しか使わないため、2 本の接線の長さは等しくなります。

例：外部の点から引いた 2 本の接線

接点を $(x_0,y_0)$ と置く。接線は $x_{0}x+y_{0}y=25$ で、これが $(7,1)$ を通るため $7x_0+y_0=25$ です。

接点は円周上にもあるため $x_0^2+y_0^2=25$。$y_0=25-7x_0$ を代入します。

$$\begin{array}{rl}{x}_0^2+(25-7x_0{)}^2& =25\\ 50x_0^2-350x_0+600& =0\\ x_0^2-7x_0+12& =0\end{array}$$

$x_0=3$ と $x_0=4$ になりました。接点は $(3,4)$ と $(4,-3)$、接線は $3x+4y=25$ と $4x-3y=25$ です。

さきほど求めた長さ $5$ とも合います。$(7,1)$ から $(3,4)$ までは $\sqrt{16+9}=5$、$(4,-3)$ までも $\sqrt{9+16}=5$。

例：交わるか接するかを距離で見る

中心から直線までの距離と半径をくらべると、交点の個数が決まります。

3 本とも $3x+4y=k$ の形で、$k$ だけが $15$、$25$、$35$ と変わります。中心からの距離は $\frac{|k|}{5}$ で、$3$、$5$、$7$ になります。

半径 $5$ より小さい $3$ では 2 点で交わり、等しい $5$ では接し、大きい $7$ では交わりません。

接するかどうかを調べるのに、連立して判別式を見る必要はない。距離と半径をくらべるだけで足ります。

例：内積の形から円を読む

$|\vec{p}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{p}=0$ という式を考えます。$|\vec{a}{|}^2$ を足して引けば平方完成できる。

$|\vec{p}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{p}+|\vec{a}{|}^2=|\vec{a}{|}^2$ となり、左辺は $|\vec{p}-\vec{a}{|}^2$ です。

$$|\vec{p}-\vec{a}|=|\vec{a}|$$

中心 $A$、半径 $|\vec{a}|$ の円になります。$\vec{p}=\vec{0}$ を入れると式が成り立つため、この円は原点を通る。

$|\vec{p}|$ が現れるか、$\vec{n}\cdot \vec{p}$ だけで書けるか。この違いで円か直線かが決まります。

大きさのままでは何も動きませんが、2 乗すれば内積の計算に乗ります。円の問題で最初にする作業は、たいていこの 2 乗です。