向きだけをとり出す 1 本の矢印｜高校数学の単位ベクトル

$\vec{a}=(3,4)$ の単位ベクトルは $\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$ です。$|\vec{a}|=5$ で割るだけ^[1]。

長さが $1$ で、向きは $\vec{a}$ と同じ。ベクトルから大きさの情報を抜いて、向きだけを残したものになります。

向きだけが要る場面は多くあります。大きさ $10$ で同じ向きのベクトルがほしければ、単位ベクトルを $10$ 倍する。それだけで済みます。

大きさで割ると長さが 1 になる

$\vec{a}$ が $\vec{0}$ でないとき、$\vec{a}$ を $|\vec{a}|$ で割ったものを単位ベクトルといいます^[1]。

$$\vec{e}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$$

$|\vec{e}|=\frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}|}=1$ なので、たしかに長さは $1$。実数倍しただけなので向きも変わりません。

$\vec{a}=\vec{0}$ では割れません。零ベクトルに向きがないので、単位ベクトルも作れない。

逆に読むと $\vec{a}=|\vec{a}|\vec{e}$ です。どんなベクトルも「大きさ × 向き」に分けて書けます^[1]。

例：成分から単位ベクトルを出す

$\vec{a}=(3,4)$ とします。$|\vec{a}|=\sqrt{9+16}=5$ です。

各成分を $5$ で割って $\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$。検算すると $\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ になります。

成分が $\left(\cos \theta ,\sin \theta \right)$ の形になるところも押さえます。単位ベクトルは、必ず角度だけで書ける。

例：大きさが整数にならないとき

$\vec{a}=(1,2)$ なら $|\vec{a}|=\sqrt{5}$ です。単位ベクトルは $\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$。

分母に根号が残るので、有理化して $\left(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)$ と書きます。

$\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2)$ のように、係数を外に出したままにする書き方もある。答案ではどちらでも通ります。

向きと大きさを分けて書く

大きさ $r$ で $\vec{a}$ と同じ向きのベクトルは、単位ベクトルを $r$ 倍して作ります。

$$r\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$$

$\vec{a}$ を $r$ 倍するのではありません。$r\vec{a}$ の大きさは $r|\vec{a}|$ になってしまう。

先に長さを $1$ にそろえてから伸ばす。この順を守れば、大きさをいくつにでも合わせられます。

例：大きさ 10 で同じ向きのベクトル

$\vec{a}=(3,4)$ と同じ向きで大きさ $10$ のベクトルを求めます。

単位ベクトルは $\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$ なので、$10$ 倍して $(6,8)$。

検算すると $\sqrt{36+64}=10$ で合っています。$\vec{a}$ をそのまま $10$ 倍した $(30,40)$ は、大きさが $50$ になってしまう。

例：逆向きも忘れない

「$\vec{a}$ に平行で大きさ $10$ のベクトル」と問われたら、答えは 2 つあります。

同じ向きの $(6,8)$ と、逆向きの $(-6,-8)$。平行には逆向きも含まれます。

「同じ向きで」と書かれていれば 1 つ、「平行で」なら 2 つ。問題文の言葉で答えの数が変わる。

平行なベクトルの表し方

$\vec{a}\ne \vec{0}$ のとき、$\vec{a}$ に平行なベクトルは実数 $k$ を使って $k\vec{a}$ と書けます^[2]。

$k>0$ なら同じ向き、$k<0$ なら逆向き。$k$ の絶対値が長さの比になります。

単位ベクトルを使えば $k\vec{a}=k|\vec{a}|\vec{e}$ で、長さは $|k||\vec{a}|$。向きと長さが 1 つの式に分かれて見えます^[3]。

例：平行かどうかを成分で見る

$(4,6)$ と $(6,9)$ が平行かを調べます。$4\times 9-6\times 6=36-36=0$ なので平行です。

$(4,6)$ と $(6,8)$ なら $4\times 8-6\times 6=-4$ で $0$ ではありません。平行ではない。

たすきに掛けて引く。この計算 1 つで判定が終わります。

例：平行になるように文字を決める

$(x,4)$ が $(3,6)$ に平行になる $x$ を求めます。

$6x-4\times 3=0$ から $6x=12$、$x=2$ です。

$k$ を使う道もあります。$(x,4)=k(3,6)$ とおくと $4=6k$ で $k=\frac{2}{3}$、$x=3k=2$。同じ答えになります。

例：大きさが指定された平行なベクトル

$\vec{a}=(2,-3)$ に平行で大きさが $\sqrt{13}$ のベクトルを求めます。

$|\vec{a}|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$ なので、すでに大きさが一致しています。

答えは $(2,-3)$ と $(-2,3)$ の 2 つ。単位ベクトルを経由しなくても、この場合は符号だけで済みます。

座標軸方向の単位ベクトル

$x$ 軸方向の単位ベクトルを $\overrightarrow{e_1}=(1,0)$、$y$ 軸方向を $\overrightarrow{e_2}=(0,1)$ とします。

どんなベクトルも、この 2 本の実数倍の和で書けます^[4]。$(3,4)=3\overrightarrow{e_1}+4\overrightarrow{e_2}$ です。

成分表示は、この分解の係数を並べたものにほかなりません。$(3,4)$ の $3$ と $4$ が、そのまま係数になっている。

例：2 点を結ぶ向きの単位ベクトル

$A(1,2)$ から $B(5,5)$ へ向かう単位ベクトルを求めます。

$\overrightarrow{AB}=(4,3)$ で $|\overrightarrow{AB}|=5$。単位ベクトルは $\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)$ です。

$A$ から $B$ の向きに $2$ だけ進んだ点は、$A$ に $2$ 倍した単位ベクトルを足して $\left(1+\frac{8}{5},2+\frac{6}{5}\right)=\left(\frac{13}{5},\frac{16}{5}\right)$。

進む距離を指定された問題では、単位ベクトルが必ず出てきます。

大きさで割るか、係数で書くか

長さの指定があれば前者、平行という条件だけなら後者。式が短いほうを選びます。

よくある誤り

大きさで割って向きだけを残し、必要な長さを掛け直す。この 2 手で、向きと大きさを別々に指定できます。

参考文献

^[1] が単位ベクトルの定義と、大きさと向きに分ける書き方、^[2] が実数倍と平行の関係、^[3] が実数倍したときの長さ、^[4] が軸方向の単位ベクトルによる分解です。