空間ベクトルの分解〜平行六面体の 3 辺を基準にとる形

平行六面体の 3 辺を $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ とすると、8 つの頂点はすべて $s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}$ の形で書けます。$s$、$t$、$u$ はそれぞれ $0$ か $1$。

平面で平行四辺形が果たしていた役目を、空間ではこの立体が引き受けます。基準が 2 本から 3 本に増えるだけで、係数を比べる手つきは同じ。

一次独立が 3 本になる

空間では、$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ が同一平面上にないとき、この 3 本を一次独立といいます。

このとき $s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}=\vec{0}$ が成り立つのは $s=t=u=0$ のときに限られます。だから係数を比べられる。

空間のどんなベクトルも、この 3 本の実数倍の和で 1 通りに書けます。平面で 2 本だったものが 3 本になっただけ。

3 本が同一平面上にあると、その平面から外へ行けません。空間全体を表せなくなる。

例：体対角線どうしは中点で交わる

$O$ から $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ への対角線の中点は $\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{2}$ です。

$\vec{a}$ の端点から $\vec{b}+\vec{c}$ の端点への対角線の中点も $\frac{\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})}{2}$。同じ点になります。

4 本の体対角線が、すべてこの 1 点を通ります。平行四辺形の対角線が中点で交わる話が、そのまま立体に上がった形。

空間での成分計算

$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$、$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ の和は、成分ごとに足す形です。

内積も同じで、成分の積を足し合わせます。項が 1 つ増える。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$$

なす角の求め方も変わりません。$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ に入れます。

例：内積となす角

$\vec{a}=(1,2,2)$、$\vec{b}=(2,-1,2)$ とする。内積は $2-2+4=4$ です。

$|\vec{a}|=\sqrt{1+4+4}=3$、$|\vec{b}|=\sqrt{4+1+4}=3$。よって $\cos \theta =\frac{4}{9}$。

$\vec{c}=(2,-2,1)$ との内積を見ると $\vec{a}\cdot \vec{c}=2-4+2=0$ で、この 2 本は垂直になります。

例：直方体の対角線

3 辺が $3$、$4$、$12$ の直方体を考えます。$\vec{a}=(3,0,0)$、$\vec{b}=(0,4,0)$、$\vec{c}=(0,0,12)$ と置く。

体対角線は $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=(3,4,12)$ で、長さは $\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$ です。

3 辺が垂直だから内積の項がすべて $0$ になり、2 乗の和がそのまま残ります。

例：垂直でない平行六面体の対角線

$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=2$ で、どの 2 本のなす角も $60^{\circ }$ とする。内積はどれも $2\times 2\times \frac{1}{2}=2$ です。

$$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}{|}^2=4+4+4+2(2+2+2)=24$$

体対角線の長さは $\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。内積の項が効くので、同じ辺の長さの直方体より長くなります。

3 つのベクトルの和の 2 乗は、$(a+b+c{)}^2$ と同じ形に展開する。組み合わせの数だけ内積の項が現れます。

例：係数を比べるときは 3 つになる

$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ が一次独立で、$(s-1)\vec{a}+(t+2)\vec{b}+(u-3)\vec{c}=\vec{0}$ とします。

係数はすべて $0$ になるから $s=1$、$t=-2$、$u=3$。比べる式が 1 つ増えます。

平面のときと同じで、比べる前に一次独立であることを断ります。同一平面上の 3 本では成り立たない。

例：同一平面上の 3 本では表せない

$\vec{a}=(1,0,0)$、$\vec{b}=(0,1,0)$、$\vec{c}=(1,1,0)$ を考えます。

$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$ なので、3 本とも $xy$ 平面の上にある。どう組み合わせても $z$ 成分は $0$ のままです。

$(0,0,1)$ は、この 3 本では書けません。空間を表すには、平面から出る 1 本がいります。

対応が 1 対 1 に付くので、平面で身につけた手順をそのまま持ちこめます。

まちがえやすいところ

和の 2 乗を展開するとき、内積の項を書き落とす形が多い。3 本なら組み合わせが 3 通りあるので、$2(\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{c}\cdot \vec{a})$ が付きます。

直方体の感覚のまま内積を $0$ にしてしまうのも、よくあるとり違えです。垂直でない平行六面体では、この項が残ります。

$\vec{a}+\vec{b}$ は面の対角線、$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ が体対角線。どちらを聞かれているかで、足す本数が変わる。

平行六面体を思い浮かべます。平面で平行四辺形が果たしていた役目を、そのまま引き継いだ立体です。