3 点が一直線に並ぶかはどこを見れば分かるのか？ベクトルで書く条件

$A(1,2)$、$B(4,3)$、$C(10,5)$ は一直線上に並んでいます。$\overrightarrow{AB}=(3,1)$、$\overrightarrow{AC}=(9,3)$ で、$\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}$ だからです^[1]。

同じ点から出る 2 本の矢印が平行なら、3 点は一直線に並ぶ。逆に、平行でなければ三角形ができます。

判定に使うのは実数 $k$ が 1 つ見つかるかどうか。角度も距離も測りません。

一直線上にある条件

異なる 3 点 $A$、$B$、$C$ について、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を作ります。

この 2 本が平行、つまり実数 $k$ を使って次のように書けるとき、3 点は一直線上に並びます^[1,3]。

$$\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$$

始点は $A$ に限りません。$\overrightarrow{BA}$ と $\overrightarrow{BC}$ で比べても、同じ判定になります。

$\overrightarrow{AB}=\vec{0}$、つまり $A$ と $B$ が同じ点だと、この式では判定できません。異なる 2 点を選びます。

例：座標で判定する

$A(1,2)$、$B(4,3)$、$C(10,5)$ を調べます。$\overrightarrow{AB}=(3,1)$、$\overrightarrow{AC}=(9,3)$ です。

$x$ 成分が $9=3\times 3$、$y$ 成分が $3=3\times 1$。どちらも同じ $k=3$ で成り立つので一直線上にあります。

片方だけ合っても足りません。2 つの成分が同じ $k$ でそろうことを確かめます。

例：一直線上にない場合

$C$ を $(10,6)$ に替えます。$\overrightarrow{AC}=(9,4)$ です。

$x$ 成分からは $k=3$、$y$ 成分からは $k=4$。食い違うので一直線上にはありません。

たすきに掛けて引く方法でも判定できます。$3\times 4-1\times 9=3$ で $0$ ではないので、平行ではない。

例：一直線になるように文字を決める

$A(1,2)$、$B(4,3)$、$C(x,7)$ が一直線上に並ぶ $x$ を求めます。

$\overrightarrow{AC}=(x-1,5)$ です。$y$ 成分から $5=k\times 1$ で $k=5$。

$x$ 成分は $x-1=5\times 3=15$ なので $x=16$ になります。$\overrightarrow{AC}=(15,5)=5(3,1)$ で合っている。

たすきに掛ける形なら $3\times 5-1\times (x-1)=0$ から直接 $x=16$。どちらでも同じ答えです。

係数の和が 1 でも書ける

原点 $O$ をとり、$A$、$B$、$C$ の位置ベクトルを $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ とします。

$\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ は $\vec{c}-\vec{a}=k(\vec{b}-\vec{a})$。整理すると次の形になります。

$$\vec{c}=(1-k)\vec{a}+k\vec{b}$$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の係数の和は $(1-k)+k=1$。3 点が一直線に並ぶことと、係数の和が $1$ になることが同じ意味になります^[2]。

$k$ を消して和だけを見ればよいので、この形のほうが速い場面が多くあります。

例：和が 1 かどうかで判定する

$\overrightarrow{OP}=\frac{2}{5}\vec{a}+\frac{3}{5}\vec{b}$ とします。係数の和は $\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=1$。

$P$ は直線 $AB$ 上にあります。どちらの係数も正なので、線分 $AB$ の内部です。

$\overrightarrow{OQ}=2\vec{a}-\vec{b}$ なら和は $2-1=1$ で、$Q$ も直線 $AB$ 上。ただし係数に負があるので線分の外に出ます。

$\overrightarrow{OR}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$ は和が $\frac{5}{6}$。$1$ ではないので直線 $AB$ 上にありません。

例：係数から内分の比を読む

$\overrightarrow{OP}=\frac{3}{7}\vec{a}+\frac{4}{7}\vec{b}$ とします。和は $1$ なので直線 $AB$ 上。

$\vec{b}$ の係数が $\frac{4}{7}$ なので、$\overrightarrow{AP}=\frac{4}{7}\overrightarrow{AB}$ です。

$AP:PB=4:3$ になります。$\vec{a}$ の係数と $\vec{b}$ の係数を、比の後ろと前に入れかえて読む。

例：直線上にあることから文字を決める

$\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}t\vec{a}+\frac{1}{4}t\vec{b}$ が直線 $AB$ 上にあるとします。

係数の和が $1$ になればよいので、$\frac{2t}{3}+\frac{t}{4}=1$。分母を払って $8t+3t=12$ です。

$t=\frac{12}{11}$ になります。未知数が 1 つなら、和が $1$ という条件だけで決まる。

例：一直線であることを証明する

三角形 $OAB$ で、$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\vec{a}$、$\overrightarrow{ON}=\frac{1}{3}\vec{b}$ とします。$M$、$N$ と、線分 $AB$ の中点 $L$ は一直線上でしょうか。

$\overrightarrow{OL}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$ です。$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}(\vec{b}-\vec{a})$、$\overrightarrow{ML}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}-\frac{\vec{a}}{3}=\frac{\vec{a}}{6}+\frac{\vec{b}}{2}$。

$\overrightarrow{ML}$ が $\overrightarrow{MN}$ の実数倍になるかを見ます。$\vec{a}$ の係数は $\frac{1}{6}$ と $-\frac{1}{3}$ で比が $-\frac{1}{2}$、$\vec{b}$ の係数は $\frac{1}{2}$ と $\frac{1}{3}$ で比が $\frac{3}{2}$。

比が食い違うので、実数倍にはなりません。一直線上にはない、が答えです^[4]。

例：始点を変えても同じ

さきほどの $A$、$B$、$C$ を $B$ を始点にして調べます。$\overrightarrow{BA}=(-3,-1)$、$\overrightarrow{BC}=(6,2)$。

$\overrightarrow{BC}=-2\overrightarrow{BA}$ です。$k$ の値は $A$ を始点にしたときの $3$ と違いますが、一直線という結論は変わりません。

$k$ の値そのものは始点の選び方で変わる。判定に使うのは「実数 $k$ が存在するか」だけです。

2 つの書き方

座標なら前者、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の式なら後者。与えられた形のまま扱えるほうを選びます。

よくある誤り

矢印が実数倍になっているか、係数の和が $1$ か。同じことを 2 通りの形で確かめているだけです。

参考文献

^[1] が 3 点が一直線に並ぶ条件、^[2] が係数の和が $1$ になる組み合わせ、^[3] が実数倍と平行の関係、^[4] が平行でない 2 本で係数を比べられることです。