角の二等分線と内心の位置ベクトル〜単位ベクトルの和が向きを決める

$|\vec{a}|=3$、$|\vec{b}|=5$ のとき、$\angle AOB$ を二等分する向きは $\frac{\vec{a}}{3}+\frac{\vec{b}}{5}$ です。

$\vec{a}+\vec{b}$ では二等分しません。長さが違うと、平行四辺形の対角線は長いほうへ寄ってしまう。

長さを $1$ にそろえてから足します。単位ベクトル 2 本でできる平行四辺形は菱形なので、対角線がちょうど角を半分に切る。

単位ベクトルの和が向きを決める

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の単位ベクトルを $\overrightarrow{e_1}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$、$\overrightarrow{e_2}=\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ とします。

この 2 本を辺とする平行四辺形は、隣り合う辺の長さがどちらも $1$。つまり菱形です。

菱形の対角線は頂点の角を二等分します。だから $\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$ が二等分線の向きになる。

二等分線上の点 $P$ は、実数 $t$ を使って次のように書けます。

$$\overrightarrow{OP}=t\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)$$

例：二等分線の向きを求める

$|\vec{a}|=3$、$|\vec{b}|=5$ とします。単位ベクトルは $\frac{\vec{a}}{3}$ と $\frac{\vec{b}}{5}$。

$$\frac{\vec{a}}{3}+\frac{\vec{b}}{5}=\frac{5\vec{a}+3\vec{b}}{15}$$

分母の $15$ は向きに関係しません。向きだけでよければ $5\vec{a}+3\vec{b}$ と答える。係数が長さの逆になっているところが特徴。

例：長さをそろえないとずれる

同じ $\vec{a}$、$\vec{b}$ で $\vec{a}+\vec{b}$ を考える。これも平行四辺形の対角線ですが、菱形ではありません。

$|\vec{b}|$ のほうが長いため、対角線は $\vec{b}$ の側へ寄る。角は半分になりません。

$\vec{a}+\vec{b}$ が二等分線になるのは $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ のときだけ。長さが等しいと平行四辺形が菱形になるからです。

角の二等分線と対辺の比

三角形 $ABC$ で、$\angle A$ の二等分線が辺 $BC$ と交わる点を $D$ とします。このとき $BD:DC=AB:AC$ が成り立つ。

辺の長さを $BC=a$、$CA=b$、$AB=c$ と書けば $BD:DC=c:b$ です。

例：D の位置ベクトルを求める

$A$ を始点にとります。$D$ は $BC$ を $c:b$ に内分するので、重みが入れかわった形になる。

$$\overrightarrow{AD}=\frac{b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}}{b+c}$$

単位ベクトルの側からも確かめられる。二等分線の向きは $\frac{\overrightarrow{AB}}{c}+\frac{\overrightarrow{AC}}{b}=\frac{b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}}{bc}$。

分子が同じ形なので、向きも一致する。2 通りの道が同じ点を指しています。

例：辺の長さが与えられたとき

$AB=6$、$AC=4$、$BC=5$ の三角形で $D$ を求める。$c=6$、$b=4$ です。

$BD:DC=6:4=3:2$ だから $BD=5\times \frac{3}{5}=3$、$DC=2$。

$$\overrightarrow{AD}=\frac{4\overrightarrow{AB}+6\overrightarrow{AC}}{10}=\frac{2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}}{5}$$

係数の和が $1$ になっていることも確かめられます。$D$ が直線 $BC$ 上にある証拠です。

内心の位置ベクトル

3 本の内角の二等分線は 1 点で交わります。その点が内心で、3 辺から等しい距離にある。

内心 $I$ の位置ベクトルは、向かい合う辺の長さを重みにした平均になる。

$$\overrightarrow{OI}=\frac{a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}+c\overrightarrow{OC}}{a+b+c}$$

重みが「その頂点の向かいの辺の長さ」であるところが要点。頂点 $A$ の重みは $BC$ の長さ $a$ です。

$A$ を始点にとれば $\overrightarrow{AI}=\frac{b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}}{a+b+c}$ となり、覚える形が 1 つ減る。

例：座標で内心を求める

$A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(0,8)$ の直角三角形で内心を求めます。$a=BC=10$、$b=CA=8$、$c=AB=6$。

$$\frac{10(0,0)+8(6,0)+6(0,8)}{24}=\frac{(48,48)}{24}=(2,2)$$

内接円の半径も $2$ で、$x$ 軸と $y$ 軸の両方に接しています。$\angle A$ が直角だから二等分線は直線 $y=x$ で、内心がその上に乗っていることも読める。

例：内心を AD 上の点として読む

$\overrightarrow{AI}$ を $\overrightarrow{AD}$ で書き直します。$\overrightarrow{AD}=\frac{b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}}{b+c}$ でした。

$$\overrightarrow{AI}=\frac{b+c}{a+b+c}\overrightarrow{AD}$$

$I$ は線分 $AD$ を $(b+c):a$ に内分する点です。$AB=6$、$AC=4$、$BC=5$ なら $(4+6):5=2:1$。

例：外角の二等分線

内角ではなく外角を二等分する向きは、単位ベクトルの差になる。$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}-\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ が、その向き。

菱形の 2 本の対角線は直交するため、内角の二等分線と外角の二等分線は垂直になります。$|\vec{a}|=3$、$|\vec{b}|=5$ なら、外角の向きは $5\vec{a}-3\vec{b}$。

例：係数の和から内心の位置を読む

$\overrightarrow{AI}=\frac{b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{AC}}{a+b+c}$ の係数の和は $\frac{b+c}{a+b+c}$ で、$1$ より小さい。

和が $1$ なら点は辺 $BC$ の上、$1$ を超えると三角形の外側に来ます。$1$ より小さいから、内心はかならず内部にある。

三角形の内部にあることが、係数の和を見るだけで決まりました。

「二等分線の方向ベクトルを求めよ」なら前者、「交点の位置ベクトルを求めよ」なら後者。問われている形で選びます。

まちがえやすいところ

$\vec{a}+\vec{b}$ をそのまま二等分線の向きにする形が、いちばん多い誤りです。長さを $1$ にそろえてから足します。

内分の重みも入れかわります。$BC$ を $c:b$ に内分する点なら、重みは $b$ と $c$ の順。内心の重みも、その頂点の隣ではなく向かいの辺の長さです。

長さを $1$ にそろえてから足す。この 1 つの操作が、二等分線にも内心にもつながっています。