ベクトルの大きさの 2 乗を内積に直して展開すると計算はぐっと楽になる

$|\vec{a}|=3$、$|\vec{b}|=4$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=6$ のとき、$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{37}$ です。

大きさのまま足し算はできませんが、2 乗すると内積の計算になります。$9+2\times 6+16=37$ と、文字式の $(a+b{)}^2$ とまったく同じ形で展開できる。

大きさが出てきたら 2 乗する。ベクトルの計算はここから始まります^[2]。

大きさの 2 乗は自分との内積

ベクトルの大きさは、自分自身との内積の平方根です^[1,2]。

$$\vec{a}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2$$

内積の定義 $|\vec{a}||\vec{a}|\cos 0^{\circ }$ からも確かめられます。$\cos 0^{\circ }=1$ なので $|\vec{a}{|}^2$ になる。

この 1 行があるので、大きさの 2 乗は内積の言葉に翻訳できます。逆に内積の計算結果は大きさに戻せる。

展開の規則

内積には、文字式の掛け算と同じ規則が成り立ちます^[1,3]。

3 つがそろっているので、$(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}+\vec{b})$ を $(a+b{)}^2$ と同じ手順で展開できます。

ただし内積の答えは実数であって、ベクトルではありません。$\vec{a}\cdot \vec{b}$ に $\vec{c}$ を内積することはできない。

例：大きさの 2 乗を展開する

$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2$ を展開します。まず内積に直す。

$$\begin{array}{rl}|\vec{a}+\vec{b}{|}^2& =(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}+\vec{b})\\ & =\vec{a}\cdot \vec{a}+2\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{b}\\ & =|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2\end{array}$$

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ と同じ形です。真ん中の項が内積になっているところだけが違う。

例：引き算のとき

$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2$ も同じ手順で展開できます^[2]。

$$|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$$

真ん中の符号が変わるだけ。$|\vec{a}|=3$、$|\vec{b}|=4$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=6$ なら $9-12+16=13$ で、$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{13}$ です。

例：数を入れて確かめる

$|\vec{a}|=3$、$|\vec{b}|=4$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=6$ で $|\vec{a}+\vec{b}|$ を求めます。

$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=9+12+16=37$。大きさは $0$ 以上なので $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{37}$ です。

2 乗した値が答えではありません。最後に平方根をとるところまでが 1 つの手順になる。

例：大きさから内積を出す

$|\vec{a}|=2$、$|\vec{b}|=3$、$|\vec{a}+\vec{b}|=4$ のとき、$\vec{a}\cdot \vec{b}$ を求めます。

展開の式に入れると $16=4+2\vec{a}\cdot \vec{b}+9$。移項して $2\vec{a}\cdot \vec{b}=3$ です。

$\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{3}{2}$ になります。与えられた大きさが 3 つあれば、内積は逆算で出せる。

例：なす角を求める

いまの $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を出します。定義から $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$。

$\frac{3}{2}=2\times 3\times \cos \theta$ なので $\cos \theta =\frac{1}{4}$ です。

$|\vec{a}|=3$、$|\vec{b}|=4$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=6$ の組なら $\cos \theta =\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$ で $\theta =60^{\circ }$ になります。

例：積の形を展開する

$(2\vec{a}+3\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})$ を展開します。分配の規則を 4 回使う。

$$\begin{array}{rl}& =2\vec{a}\cdot \vec{a}-2\vec{a}\cdot \vec{b}+3\vec{b}\cdot \vec{a}-3\vec{b}\cdot \vec{b}\\ & =2|\vec{a}{|}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}-3|\vec{b}{|}^2\end{array}$$

$\vec{a}\cdot \vec{b}$ と $\vec{b}\cdot \vec{a}$ は同じものなので、$-2+3=1$ とまとめられます。

$|\vec{a}|=3$、$|\vec{b}|=4$、$\vec{a}\cdot \vec{b}=6$ を入れると $18+6-48=-24$ です。

例：係数が付いた大きさ

$|2\vec{a}-3\vec{b}{|}^2$ を展開します。係数は 2 乗されて外に出る。

$$|2\vec{a}-3\vec{b}{|}^2=4|\vec{a}{|}^2-12\vec{a}\cdot \vec{b}+9|\vec{b}{|}^2$$

真ん中の項は $2\times 2\times 3=12$ で、符号は負。$36-72+144=108$ となり、$|2\vec{a}-3\vec{b}|=6\sqrt{3}$ です。

$2\times 3=6$ を 2 倍し忘れて $6$ とする誤りが多いところ。$(2a-3b{)}^2$ の展開と同じだと思えば間違えにくくなります。

中線定理が出てくる

$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2$ と $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2$ を足すと、内積の項が消えます^[4]。

$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2+|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=2\left(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2\right)$$

平行四辺形の法則と呼ばれる等式です。2 本の対角線の 2 乗の和が、4 辺の 2 乗の和に等しいことを表しています。

$37+13=50$ で、右辺は $2(9+16)=50$。さきほどの数でも合っています。

例：中線定理として読む

三角形 $ABC$ で辺 $BC$ の中点を $M$ とします。$\overrightarrow{MB}=\vec{b}$、$\overrightarrow{MA}=\vec{a}$ とおくと $\overrightarrow{MC}=-\vec{b}$。

$A{B}^2=|\vec{b}-\vec{a}{|}^2$、$A{C}^2=|-\vec{b}-\vec{a}{|}^2=|\vec{a}+\vec{b}{|}^2$ です。足すと内積が消えます。

$$A{B}^2+A{C}^2=2\left(A{M}^2+B{M}^2\right)$$

図形の定理が、内積の項が打ち消し合うという計算 1 つで出てきました。

例：垂直条件を大きさで書く

$|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$ が成り立つのは、どんなときでしょうか。

両辺を 2 乗して展開すると $|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$ です。

$4\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ なので $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$。つまり $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直なときに限られます。

平行四辺形の 2 本の対角線が等しいのは長方形のとき、という事実に対応する。

例：菱形の対角線は直交する

$|\vec{a}|=|\vec{b}|$ のとき、$(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})$ を計算します。

展開すると $|\vec{a}{|}^2-|\vec{b}{|}^2$ で、これは $0$。2 本の対角線の内積が $0$ になります。

4 辺の長さが等しい平行四辺形が菱形なので、菱形の対角線は直交する。展開 1 回で証明が終わります。

例：3 つのベクトルが出てくるとき

$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}{|}^2$ も同じ規則で展開できます。

$$|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+|\vec{c}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+2\vec{b}\cdot \vec{c}+2\vec{c}\cdot \vec{a}$$

$(a+b+c{)}^2$ の展開と同じ形。組み合わせの数だけ内積の項が出てきます。

$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ という条件が付くと左辺が $0$ になり、3 つの内積の和が決まる。この形は正三角形や重心の問題でよく出ます。

大きさと内積の行き来

どちらの向きにも進めるので、問題文で与えられている量と問われている量をつないで、経路を先に決めます。

よくある誤り

大きさが出たら 2 乗する。この 1 手で、ベクトルの計算は文字式の展開に変わります。

参考文献

^[1] が内積の交換・分配・実数倍の規則、^[2] が大きさと内積の関係および $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2$ の展開、^[3] が双線形性の整理、^[4] が平行四辺形の法則です。