平面に関する対称点：垂線の足まで行って、もう一度同じだけ進む

点 $P$ の平面に関する対称点 $Q$ は、垂線の足 $H$ を使って $\vec{q}=2\vec{h}-\vec{p}$ と書けます。

$H$ まで行って、そこからさらに同じだけ進む。$\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{PH}$ という一言で片づきます。

言いかえると、$H$ が線分 $PQ$ の中点です。対称点を求めたあとの検算にも、この関係が使えます。

対称点は垂線の足を 2 倍する

$P$ から平面へ下ろした垂線の足を $H$ とします。対称点 $Q$ は、$P$ から見て $H$ の 2 倍の位置。

$$\vec{q}=\vec{p}+2\overrightarrow{PH}=2\vec{h}-\vec{p}$$

$\overrightarrow{PH}$ を足すと平面まで、もう 1 回足すと向こう側へ抜けます。

$\vec{h}=\frac{\vec{p}+\vec{q}}{2}$ と書き直せば、$H$ が中点であることがそのまま読める。

例：垂線の足から対称点を求める

平面 $ABC$ を $A(3,0,0)$、$B(0,3,0)$、$C(0,0,3)$ とします。原点 $O$ からの垂線の足は $H(1,1,1)$。

対称点は $\vec{q}=2(1,1,1)-(0,0,0)=(2,2,2)$ です。

検算します。$O$ と $Q$ の中点は $(1,1,1)$ で $H$ に一致。$Q$ の座標を足すと $6$ で、平面の $3$ からちょうど同じだけ離れています。

例：法線ベクトルで一気に求める

垂線の足を経由せず、法線ベクトルから直接求める道もあります。

平面上の 1 点を $A$、法線ベクトルを $\vec{n}$ とすると、$\overrightarrow{AP}$ のうち $\vec{n}$ の向きの成分を 2 回引く形になる。

$$\vec{q}=\vec{p}-2\frac{\overrightarrow{AP}\cdot \vec{n}}{|\vec{n}{|}^2}\vec{n}$$

平面 $x+y+z=3$ の法線は $\vec{n}=(1,1,1)$ です。$A(3,0,0)$、$P(0,0,0)$ なら $\overrightarrow{AP}=(-3,0,0)$。

$\overrightarrow{AP}\cdot \vec{n}=-3$、$|\vec{n}{|}^2=3$ なので、引く量は $2\times (-1)\times (1,1,1)=(-2,-2,-2)$。

$\vec{q}=(0,0,0)-(-2,-2,-2)=(2,2,2)$ で、同じ答えになりました。

法線が分かっている問題では、こちらのほうが速い。平面へ落とした成分を 2 回ぶん引く形です。

例：座標平面に関する対称点

$xy$ 平面の法線は $(0,0,1)$ です。$P(2,-3,6)$ の対称点を公式で求めてみる。

$A$ を原点にとると $\overrightarrow{AP}\cdot \vec{n}=6$、$|\vec{n}{|}^2=1$。引く量は $12(0,0,1)=(0,0,12)$ です。

$\vec{q}=(2,-3,6)-(0,0,12)=(2,-3,-6)$。$z$ の符号だけが変わるという結果と一致します。

座標平面のときに符号を反転させるだけで済むのは、法線が軸の向きにそろっているためです。

例：平面を 1 回経由する最短経路

平面 $z=0$ の上の点を 1 つ経由して、$A(1,2,3)$ から $B(4,6,5)$ へ行く最短経路を求めます。

$A$ の対称点 $A^{\prime }(1,2,-3)$ をとります。$A$ から平面上の点までの距離は、$A^{\prime }$ からの距離と等しい。

だから求める最短の長さは $A^{\prime }B$ に等しくなります。$\overrightarrow{A^{\prime }B}=(3,4,8)$ で $\sqrt{9+16+64}=\sqrt{89}$。

経由する点は、線分 $A^{\prime }B$ と平面の交点です。$A^{\prime }+t\overrightarrow{A^{\prime }B}=(1+3t,2+4t,-3+8t)$ で $z=0$ と置くと $t=\frac{3}{8}$。

交点は $\left(\frac{17}{8},\frac{7}{2},0\right)$ になりました。折れ線を直線に伸ばす、という運び方が対称点の使いどころです。

例：距離が等しいことを使う

平面上のどの点 $X$ についても $AX=A^{\prime }X$ になる。ここが対称点の効いているところです。

$A$ と $A^{\prime }$ は平面から等しい距離にあり、$X$ から見て $\overrightarrow{AH}$ と $\overrightarrow{A^{\prime }H}$ は向きだけ反対。三平方の定理から長さが一致します。

折れ線 $AX+XB$ の長さが $A^{\prime }X+XB$ に置きかわり、$A^{\prime }$、$X$、$B$ が一直線のときに最短になる。そこで直線と平面の交点を求める話へ戻ります。

例：対称点が同じ点になる場合

$P$ が平面上にあると、垂線の足は $P$ 自身です。$\vec{q}=2\vec{p}-\vec{p}=\vec{p}$ で、対称点は自分に重なる。

平面上の点は動きません。鏡の面に貼りついた点が映っても同じ位置にある、という当たり前の内容が式に現れます。

$\overrightarrow{AP}\cdot \vec{n}=0$ のとき引く量が $\vec{0}$ になる、という形でも同じことです。

まちがえやすいところ

$\vec{q}=2\vec{h}-\vec{p}$ を $\vec{q}=\vec{h}-\vec{p}$ と書いてしまう形が多い。$H$ は中点なので、$P$ から見て 2 倍の位置まで進みます。

法線の公式では、$|\vec{n}{|}^2$ で割るところを落としやすくなります。$\vec{n}$ の長さが $1$ でないかぎり、割らないと引く量がずれる。

最短経路では、どちらの点を対称に移すかで交点の計算が変わります。$A$ を移しても $B$ を移しても答えの長さは同じですが、$X$ の座標を出すときは移した側の点から直線を引きます。