平面に関する対称点：垂線の足まで行って、もう一度同じだけ進む

点 $P$ の平面に関する対称点 $Q$ は、垂線の足 $H$ を使って $q = 2 h - p$ と書けます。

$H$ まで行って、そこからさらに同じだけ進む。 $P Q = 2 P H$ という一言で片づきます。

言いかえると、 $H$ が線分 $P Q$ の中点です。対称点を求めたあとの検算にも、この関係が使えます。

対称点は垂線の足を 2 倍する

$P$ から平面へ下ろした垂線の足を $H$ とします。対称点 $Q$ は、 $P$ から見て $H$ の 2 倍の位置。

$q = p + 2 P H = 2 h - p$

$P H$ を足すと平面まで、もう 1 回足すと向こう側へ抜けます。

$h = \frac{p + q}{2}$ と書き直せば、 $H$ が中点であることがそのまま読める。

例：垂線の足から対称点を求める

平面 $A B C$ を $A (3, 0, 0)$ 、 $B (0, 3, 0)$ 、 $C (0, 0, 3)$ とします。原点 $O$ からの垂線の足は $H (1, 1, 1)$ 。

対称点は $q = 2 (1, 1, 1) - (0, 0, 0) = (2, 2, 2)$ です。

検算します。 $O$ と $Q$ の中点は $(1, 1, 1)$ で $H$ に一致。 $Q$ の座標を足すと $6$ で、平面の $3$ からちょうど同じだけ離れています。

例：法線ベクトルで一気に求める

垂線の足を経由せず、法線ベクトルから直接求める道もあります。

平面上の 1 点を $A$ 、法線ベクトルを $n$ とすると、 $A P$ のうち $n$ の向きの成分を 2 回引く形になる。

$q = p - 2 \frac{A P \cdot n}{∣ n ∣ ^{2}} n$

canvas: 置き場が受け取りませんでした

平面 $x + y + z = 3$ の法線は $n = (1, 1, 1)$ です。 $A (3, 0, 0)$ 、 $P (0, 0, 0)$ なら $A P = (- 3, 0, 0)$ 。

$A P \cdot n = - 3$ 、 $∣ n ∣^{2} = 3$ なので、引く量は $2 \times (- 1) \times (1, 1, 1) = (- 2, - 2, - 2)$ 。

$q = (0, 0, 0) - (- 2, - 2, - 2) = (2, 2, 2)$ で、同じ答えになりました。

法線が分かっている問題では、こちらのほうが速い。平面へ落とした成分を 2 回ぶん引く形です。

例：座標平面に関する対称点

$x y$ 平面の法線は $(0, 0, 1)$ です。 $P (2, - 3, 6)$ の対称点を公式で求めてみる。

$A$ を原点にとると $A P \cdot n = 6$ 、 $∣ n ∣^{2} = 1$ 。引く量は $12 (0, 0, 1) = (0, 0, 12)$ です。

$q = (2, - 3, 6) - (0, 0, 12) = (2, - 3, - 6)$ 。 $z$ の符号だけが変わるという結果と一致します。

座標平面のときに符号を反転させるだけで済むのは、法線が軸の向きにそろっているためです。

例：平面を 1 回経由する最短経路

平面 $z = 0$ の上の点を 1 つ経由して、 $A (1, 2, 3)$ から $B (4, 6, 5)$ へ行く最短経路を求めます。

canvas: 置き場が受け取りませんでした

$A$ の対称点 $A^{'} (1, 2, - 3)$ をとります。 $A$ から平面上の点までの距離は、 $A^{'}$ からの距離と等しい。

だから求める最短の長さは $A^{'} B$ に等しくなります。 $A^{'} B = (3, 4, 8)$ で $9 + 16 + 64 = 89$ 。

経由する点は、線分 $A^{'} B$ と平面の交点です。 $A^{'} + t A^{'} B = (1 + 3 t, 2 + 4 t, - 3 + 8 t)$ で $z = 0$ と置くと $t = \frac{3}{8}$ 。

交点は $(\frac{17}{8}, \frac{7}{2}, 0)$ になりました。折れ線を直線に伸ばす、という運び方が対称点の使いどころです。

例：距離が等しいことを使う

平面上のどの点 $X$ についても $A X = A^{'} X$ になる。ここが対称点の効いているところです。

$A$ と $A^{'}$ は平面から等しい距離にあり、 $X$ から見て $A H$ と $A^{'} H$ は向きだけ反対。三平方の定理から長さが一致します。

折れ線 $A X + X B$ の長さが $A^{'} X + X B$ に置きかわり、 $A^{'}$ 、 $X$ 、 $B$ が一直線のときに最短になる。そこで直線と平面の交点を求める話へ戻ります。

例：対称点が同じ点になる場合

$P$ が平面上にあると、垂線の足は $P$ 自身です。 $q = 2 p - p = p$ で、対称点は自分に重なる。

平面上の点は動きません。鏡の面に貼りついた点が映っても同じ位置にある、という当たり前の内容が式に現れます。

$A P \cdot n = 0$ のとき引く量が $0$ になる、という形でも同じことです。

垂線の足を先に求める

$H$ を求めてから $2 h - p$ 。 $H$ 自体も答えにいるときに向く

法線ベクトルで引く

平面へ落とした成分の 2 倍を引く。法線が分かっていれば速い

$P (1, 2, 3)$ の、平面 $z = 0$ に関する対称点はどれですか。

$(- 1, - 2, 3)$
$(1, 2, - 3)$
$(- 1, - 2, - 3)$

__RESULT__

$z = 0$ は $x y$ 平面で、法線は $(0, 0, 1)$ です。法線の向きの成分だけが反転するので、 $z$ の符号が変わって $(1, 2, - 3)$ になります。3 つとも反転させた形は、原点に関する対称点のほう。

まちがえやすいところ

$q = 2 h - p$ を $q = h - p$ と書いてしまう形が多い。 $H$ は中点なので、 $P$ から見て 2 倍の位置まで進みます。

法線の公式では、 $∣ n ∣^{2}$ で割るところを落としやすくなります。 $n$ の長さが $1$ でないかぎり、割らないと引く量がずれる。

最短経路では、どちらの点を対称に移すかで交点の計算が変わります。 $A$ を移しても $B$ を移しても答えの長さは同じですが、 $X$ の座標を出すときは移した側の点から直線を引きます。

点 $P$ の平面に関する対称点は $\vec{q}=2\vec{h}-\vec{p}$ です。$H$ は垂線の足で、$\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{PH}$ という一言で片づく。言いかえると $H$ が線分 $PQ$ の中点なので、答えを求めたあとの検算にも使えます。法線ベクトルが分かっているなら、$\overrightarrow{AP}$ の法線方向の成分を 2 回ぶん引く形で一気に求まる。座標平面のときに符号を反転させるだけで済むのは、法線が軸の向きにそろっているから。平面上の 1 点を経由する最短経路を、対称点で直線に伸ばして解く手順まで。