四面体の内部の点と体積比｜係数がそのまま比になる

$P A + 2 P B + 3 P C + 4 P D = 0$ をみたす点 $P$ は、四面体 $A B C D$ を体積比 $1 : 2 : 3 : 4$ に分けます。

$P A$ の係数 $1$ が、 $A$ を含まない四面体 $P B C D$ に対応する。三角形で面積比だったところが、体積比に変わった形です。

位置ベクトルに直すと $p = \frac{a + 2 b + 3 c + 4 d}{10}$ 。係数を重みにした平均になります。

係数がそのまま体積の比になる

点 $P$ が四面体 $A B C D$ の内部にあり、正の数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ について次が成り立つとします。

$a P A + b P B + c P C + d P D = 0$

このとき、4 つの小さい四面体の体積比が係数の比と一致します。

$V_{P B C D} : V_{P A C D} : V_{P A B D} : V_{P A B C} = a : b : c : d$

向かい合わせに読むところは三角形と同じ。 $P A$ の係数は、 $A$ を含まないほうに対応します。

始点を $O$ に移すと、重みを付けた平均の形になる。

$O P = \frac{a O A + b O B + c O C + d O D}{a + b + c + d}$

例：係数から体積比を読む

$P A + 2 P B + 3 P C + 4 P D = 0$ の場合。係数は $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ です。

体積比は $V_{P B C D} : V_{P A C D} : V_{P A B D} : V_{P A B C} = 1 : 2 : 3 : 4$ 。

係数の和は $10$ なので、 $V_{P B C D}$ は全体の $\frac{1}{10}$ にあたります。全体との比を聞かれたら、和で割る。

位置ベクトルは $p = \frac{a + 2 b + 3 c + 4 d}{10}$ です。

例：重心はすべて 1 のとき

$G A + GB + GC + G D = 0$ は、係数がすべて $1$ の場合です。

体積比は $1 : 1 : 1 : 1$ で、重心は四面体を体積で 4 等分します。

位置ベクトルも $\frac{a + b + c + d}{4}$ で、重みが等しい平均になる。三角形の重心が面積を 3 等分したことに対応します。

例：体積比から係数を読む

逆向きにもたどれます。 $V_{P B C D} : V_{P A C D} : V_{P A B D} : V_{P A B C} = 2 : 1 : 3 : 4$ という条件が与えられたとする。

係数がそのまま $2$ 、 $1$ 、 $3$ 、 $4$ になるので、次の等式が成り立ちます。

$2 P A + P B + 3 P C + 4 P D = 0$

位置ベクトルは $\frac{2 a + b + 3 c + 4 d}{10}$ 。体積という立体の条件が、ベクトルの等式 1 つに置きかわりました。

例：延長して面との交点を求める

$P A + 2 P B + 3 P C + 4 P D = 0$ で、 $A P$ の延長と平面 $B C D$ の交点を $E$ とします。

$A$ を始点にとると $A P = \frac{2 A B + 3 A C + 4 A D}{10}$ 。係数の和は $\frac{9}{10}$ です。

平面 $B C D$ 上の点は係数の和が $1$ になるので、 $\frac{10}{9}$ 倍します。

$A E = \frac{2 A B + 3 A C + 4 A D}{9}$

$A P : P E = 9 : 1$ になりました。分母が $10$ から $9$ に変わったぶんが、そのまま比を表しています。

例：全体との比を聞かれたとき

$V_{P B C D}$ と $V_{A B C D}$ の比を求める。係数の和が $10$ で、 $P A$ の係数が $1$ でした。

$V_{P B C D} : V_{A B C D} = 1 : 10$ です。4 つを足すともとの四面体に戻るため、和が全体にあたります。

$V_{P A B C}$ なら $4 : 10 = 2 : 5$ 。どの係数を使うかをとり違えないよう、向かい合う頂点を確かめます。

例：負の係数が混じるとき

$P A - 2 P B + 3 P C + 4 P D = 0$ のように、負の係数が混じる場合を考えます。

このとき $P$ は四面体の外側に来ます。体積は負の値をとらないので、係数をそのまま体積比とは読めません。

体積比として読めるのは、4 つの係数がすべて同じ符号のとき。答える前に符号をそろえて確かめます。

三角形との対応

三角形	3 つの係数が面積比
四面体	4 つの係数が体積比

項が 1 つ増え、面積が体積に変わりました。読み方の規則はそのまま。

$2 P A + 3 P B + P C + 4 P D = 0$ のとき、 $V_{P B C D}$ と $V_{A B C D}$ の比はどれですか。

$3 : 10$
$1 : 5$
$2 : 3$

__RESULT__

係数の和は $2 + 3 + 1 + 4 = 10$ で、 $V_{P B C D}$ に対応するのは $P A$ の係数 $2$ です。 $2 : 10 = 1 : 5$ になります。 $P B$ の係数 $3$ を当てると $3 : 10$ が出ます。

まちがえやすいところ

向かい合わせの対応を順番どおりに読む形が、いちばん多いとり違えです。 $P A$ の係数に対応するのは、 $A$ を含まない $P B C D$ のほう。

全体との比では、係数の和で割ります。4 つを足すともとの四面体に戻るので、和がそのまま全体の量にあたる。

延長して面との交点を求めるときは、係数の和を $1$ に直します。和が $\frac{9}{10}$ なら $\frac{10}{9}$ 倍で、その倍率が $A P : P E$ を決めています。

$\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}+4\overrightarrow{PD}=\vec{0}$ をみたす点は、四面体を体積比 $1:2:3:4$ に分けます。$\overrightarrow{PA}$ の係数に向かい合うのは、$A$ を含まない $PBCD$ のほう。三角形で面積比だったところが体積比に変わった形です。位置ベクトルは係数を重みにした平均で、分母は係数の和。重心はすべて $1$ の場合で、体積を 4 等分します。$AP$ を平面 $BCD$ まで伸ばすには係数の和を $1$ に直せばよく、$AP:PE=9:1$ もそこから読める。負の係数が混じると体積比として読めない理由まで。