空間ベクトルは平面と何が変わるのか？2 点間の距離と対称な点

空間の 2 点 $A (1, 2, 3)$ 、 $B (3, 4, 4)$ の距離は $3$ です。 $A B = (2, 2, 1)$ で、 $4 + 4 + 1 = 3$ 。

平面での $(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ に、 $z$ の項が 1 つ足された形。三平方の定理を 2 回使えば導けます。

座標が 1 つ増えるだけ

空間では、たがいに垂直な 3 本の軸をとります。点は $(x, y, z)$ という 3 つの数で決まる。

ベクトルも成分が 3 つになります。 $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ と書き、大きさは成分の 2 乗の和の平方根。

$∣ a ∣ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}$

平面での $a_{1}^{2} + a_{2}^{2}$ に項が 1 つ足された形です。和も差も実数倍も、成分ごとに計算する点は変わりません。

例：2 点間の距離

$A (1, 2, 3)$ 、 $B (3, 4, 4)$ の距離を求める。 $A B = (2, 2, 1)$ です。

$A B = 2^{2} + 2^{2} + 1^{2} = 9 = 3$

終点から始点を引いて、成分を 2 乗して足す。手順は平面と同じです。

例：原点からの距離

$P (2, - 3, 6)$ と原点の距離は $4 + 9 + 36 = 49 = 7$ になります。

符号は 2 乗で消えるため、負の座標があってもそのまま計算できる。

座標平面と座標軸

$x y$ 平面は $z = 0$ をみたす点の集まりです。同じように $y z$ 平面は $x = 0$ 、 $z x$ 平面は $y = 0$ 。

$x$ 軸は $y = z = 0$ 、 $y$ 軸は $x = z = 0$ 、 $z$ 軸は $x = y = 0$ をみたす点の集まりになります。

点から座標平面までの距離は、対応する座標の絶対値です。 $P (2, - 3, 6)$ から $x y$ 平面までは $6$ 、 $y z$ 平面までは $2$ 。

対称の相手が 3 種類になる

平面では対称の相手が点か直線でしたが、空間では平面と軸と原点の 3 種類になります。

例：座標平面に関する対称点

$x y$ 平面を鏡と見ると、上下がひっくり返ります。 $z$ の符号だけが変わる。

$P (2, - 3, 6)$ の $x y$ 平面に関する対称点は $(2, - 3, - 6)$ です。

$y z$ 平面なら $x$ の符号が変わって $(- 2, - 3, 6)$ 、 $z x$ 平面なら $y$ が変わって $(2, 3, 6)$ 。

鏡になる平面に含まれない座標が、1 つだけ反転します。

例：座標軸に関する対称点

軸を回転の芯と見ると、軸に含まれない 2 つの座標が反転する。

$P (2, - 3, 6)$ の $x$ 軸に関する対称点は $(2, 3, - 6)$ です。 $y$ と $z$ の符号が変わります。

$y$ 軸なら $(- 2, - 3, - 6)$ 、 $z$ 軸なら $(- 2, 3, 6)$ 。

平面のときは 1 つ、軸のときは 2 つ。反転する個数で見分けられます。

例：原点に関する対称点

原点に関する対称点では、3 つとも符号が変わります。 $P (2, - 3, 6)$ なら $(- 2, 3, - 6)$ 。

反転する座標の数は、平面で $1$ 、軸で $2$ 、原点で $3$ です。

xy 平面に関して	$z$ が反転
yz 平面に関して	$x$ が反転
zx 平面に関して	$y$ が反転
x 軸に関して	$y$ と $z$ が反転
y 軸に関して	$x$ と $z$ が反転
z 軸に関して	$x$ と $y$ が反転
原点に関して	3 つとも反転

例：等距離にある点を求める

$x$ 軸上の点で、 $A (1, 2, 3)$ と $B (5, 2, 1)$ から等距離なものを求めます。

求める点を $P (x, 0, 0)$ と置きます。 $P A^{2} = P B^{2}$ を立てる。

$(x - 1)^{2} + 4 + 9 = (x - 5)^{2} + 4 + 1$

展開して $x^{2} - 2 x + 14 = x^{2} - 10 x + 30$ 。 $8 x = 16$ から $x = 2$ です。

$P (2, 0, 0)$ で、 $P A^{2} = 1 + 4 + 9 = 14$ 、 $P B^{2} = 9 + 4 + 1 = 14$ 。合いました。

距離のまま扱わず、2 乗した形で連立します。根号が消えて 1 次方程式になる。

例：球面の内と外を調べる

中心 $C (1, 2, 3)$ 、半径 $5$ の球面は $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25$ と書けます。

点 $(4, 6, 3)$ を入れると $9 + 16 + 0 = 25$ で、球面の上にあります。

点 $(4, 6, 5)$ なら $9 + 16 + 4 = 29$ で $25$ より大きい。球の外側です。

中心からの距離が半径と等しいかどうかを見る。円のときと同じ考え方が、そのまま通ります。

例：中点と内分点

$A (1, 2, 3)$ と $B (5, 2, 1)$ の中点は $(\frac{1 + 5}{2}, \frac{2 + 2}{2}, \frac{3 + 1}{2}) = (3, 2, 2)$ 。

$1 : 3$ に内分する点なら $(\frac{3 \cdot 1 + 1 \cdot 5}{4}, 2, \frac{3 \cdot 3 + 1 \cdot 1}{4}) = (2, 2, \frac{5}{2})$ です。

成分ごとに平面と同じ公式を当てます。 $z$ の行が 1 つ増えるだけ。

$P (3, - 1, 4)$ の $y$ 軸に関する対称点はどれですか。

$(3, 1, 4)$
$(- 3, - 1, - 4)$
$(3, - 1, - 4)$

__RESULT__

$y$ 軸に含まれない座標は $x$ と $z$ なので、その 2 つが反転します。 $(3, 1, 4)$ は $y$ だけを反転させた形で、これは軸ではなく $z x$ 平面に関する対称点です。

まちがえやすいところ

対称の相手が平面か軸かで、反転する座標の数が変わります。平面なら 1 つ、軸なら 2 つ。 $z x$ 平面に関する対称点と $y$ 軸に関する対称点をとり違える形が、いちばん多い誤りです。

等距離の条件を、距離のまま立ててしまう形も目につきます。根号が残ったままでは計算が進まないので、はじめから 2 乗して連立する。

座標が 1 つ増えても、距離も内分点も式の形は変わりません。増えるのは位置関係の種類のほうです。

$A(1,\ 2,\ 3)$ と $B(3,\ 4,\ 4)$ の距離は $3$ です。$\overrightarrow{AB}=(2,\ 2,\ 1)$ の成分を 2 乗して足すだけで、平面の式に $z$ の項が 1 つ増えた形になっている。和も差も実数倍も、成分ごとに計算する点は変わりません。増えるのは位置関係の種類のほうで、対称の相手が座標平面と座標軸と原点の 3 種類になります。反転する座標は平面で 1 つ、軸で 2 つ、原点で 3 つ。等距離の点を求めるときは 2 乗して連立すると、根号が消えて 1 次方程式になります。球面の内外の判定まで。