外心と垂心の位置ベクトル｜重心をはさんで一直線に並ぶ

外心 $O$ を始点にとると、垂心 $H$ の位置ベクトルは $O A + O B + O C$ です。3 本を足すだけで求まります。

垂線を 2 本引いて交点を計算する作業が、足し算 1 回に置きかわる。使うのは $∣ O A ∣ = ∣ O B ∣ = ∣ O C ∣$ という外心の性質です。

外心は 3 頂点から等しい距離にある

外心は 3 辺の垂直二等分線が交わる点で、3 つの頂点までの距離が等しくなります。

ベクトルで書けば $∣ O A ∣ = ∣ O B ∣ = ∣ O C ∣$ で、この値が外接円の半径 $R$ です。座標で求めるときは、この等式を 2 つ立てて連立する。

例：座標で外心を求める

$A (0, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 、 $C (1, 3)$ の外心 $P (x, y)$ を求めます。距離のままでは根号が残るので、2 乗した形で立てる。

$P A^{2} = P B^{2}$ から $x^{2} + y^{2} = (x - 4)^{2} + y^{2}$ 。展開して $0 = - 8 x + 16$ 、つまり $x = 2$ 。

$P A^{2} = P C^{2}$ から $x^{2} + y^{2} = (x - 1)^{2} + (y - 3)^{2}$ 。整理すると $2 x + 6 y = 10$ で、 $x = 2$ を入れると $y = 1$ になります。

外心は $(2, 1)$ 、半径は $4 + 1 = 5$ 。

垂心は 3 本の垂線が交わる点

垂心は、各頂点から向かい合う辺へ下ろした垂線が交わる点です。

ベクトルの条件では $A H \cdot B C = 0$ かつ $B H \cdot C A = 0$ です。内積が $0$ という式を 2 つ立てる。

3 つ目の $C H \cdot A B = 0$ は、この 2 つから自動的に導けます。だから 2 つで足ります。

例：座標で垂心を求める

同じ三角形で垂心 $H (x, y)$ を求める。 $A H = (x, y)$ 、 $B C = (- 3, 3)$ です。

内積が $0$ だから $- 3 x + 3 y = 0$ 、つまり $y = x$ 。

$B H = (x - 4, y)$ 、 $C A = (- 1, - 3)$ から $- (x - 4) - 3 y = 0$ 、つまり $x + 3 y = 4$ 。

$y = x$ を入れると $4 x = 4$ 。垂心は $(1, 1)$ になりました。

外心を始点にとると足し算になる

外心 $O$ を始点にとり、 $O A = a$ 、 $O B = b$ 、 $O C = c$ とします。 $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = R$ です。

ここで $h = a + b + c$ という点 $H$ をとる。この $H$ が垂心になることを示します。

$A H = h - a = b + c$ 、 $B C = c - b$ です。内積を計算します。

$(b + c) \cdot (c - b) = ∣ c ∣^{2} - ∣ b ∣^{2} = R^{2} - R^{2} = 0$

$A H$ と $B C$ が垂直になりました。同じ計算を $B$ と $C$ についても通せば、 $H$ が 3 本の垂線の上にあると分かる。

和と差の積が 2 乗の差になる、という展開だけで証明が終わります。長さがそろっていることを、この 1 か所で使いました。

例：数で確かめる

$A (0, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 、 $C (1, 3)$ の外心は $(2, 1)$ でした。外心を始点にした位置ベクトルを作ります。

$a = (- 2, - 1)$ 、 $b = (2, - 1)$ 、 $c = (- 1, 2)$ で、大きさはどれも $5$ 。

足すと $h = (- 1, 0)$ です。もとの座標に直すと $(2, 1) + (- 1, 0) = (1, 1)$ 。

垂線から求めた $(1, 1)$ と一致しました。

重心も同じ直線に乗る

重心 $G$ の位置ベクトルは、外心を始点にすると $\frac{a + b + c}{3}$ です。これは $\frac{h}{3}$ にほかなりません。

$O G = \frac{1}{3} O H$

$O$ 、 $G$ 、 $H$ は一直線上にあり、 $O G : G H = 1 : 2$ になります。この直線をオイラー線と呼びます。

3 点が一直線に並ぶ条件は、片方が他方の実数倍で書けることです。ここでは係数が $\frac{1}{3}$ で、それが比を決めています。

例：OG と GH の比を確かめる

$A (0, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 、 $C (1, 3)$ の重心は $(\frac{5}{3}, 1)$ 。

外心は $(2, 1)$ 、垂心は $(1, 1)$ です。3 点とも $y$ 座標が $1$ なので、直線 $y = 1$ の上に並んでいます。

$O G = (- \frac{1}{3}, 0)$ 、 $G H = (- \frac{2}{3}, 0)$ 。ちょうど $2$ 倍で、比は $1 : 2$ 。

例：直角三角形のとき

$∠ A = 9 0^{\circ}$ の直角三角形では、外心が斜辺 $B C$ の中点にきます。斜辺が外接円の直径になるためです。

垂心のほうは直角の頂点 $A$ そのもの。 $A$ から $B C$ への垂線は $A$ を通り、 $B$ から $C A$ への垂線は辺 $A B$ に重なる。

$A (0, 0)$ 、 $B (4, 0)$ 、 $C (0, 3)$ で確かめます。外心は $(2, 1.5)$ です。

$a = (- 2, - 1.5)$ 、 $b = (2, - 1.5)$ 、 $c = (- 2, 1.5)$ で、 $h = (- 2, - 1.5)$ 。

もとの座標に直すと $(2, 1.5) + (- 2, - 1.5) = (0, 0)$ で、 $A$ に一致しました。直角三角形でも公式はそのまま成り立ちます。

例：正三角形のとき

正三角形では、外心と重心と垂心が同じ点に重なります。

外心を始点にとると、3 本のベクトルは長さが等しく $12 0^{\circ}$ ずつ開いた形。足すと $0$ になる。

$O H = 0$ だから $H = O$ です。3 点が重なるため、一直線に並ぶという話も $O G : G H = 1 : 2$ という比も、そこでは意味を持ちません。

垂線の条件から解く

内積が $0$ の式を 2 つ立てて連立する。外心が分かっていなくても使える

外心を始点にして足す

$a + b + c$ を計算するだけ。先に外心を求めておく必要がある

外心が先に求まっているなら足し算のほうが速い。垂心だけがほしいなら、垂線の条件から直接解きます。

外心を $O$ 、重心を $G$ 、垂心を $H$ とするとき、 $O H$ を $O G$ で表すとどれですか。

$2 O G$
$3 O G$
$\frac{1}{3} O G$

__RESULT__

$O G = \frac{a + b + c}{3}$ 、 $O H = a + b + c$ なので $O H = 3 O G$ です。 $O G : G H = 1 : 2$ から $G H = 2 O G$ になりますが、 $O H$ は $O G$ と $G H$ の和なので $3$ 倍。

まちがえやすいところ

$O H = a + b + c$ が成り立つのは、始点が外心のときに限ります。ほかの点を始点にすると、この形は崩れる。

$O G : G H = 1 : 2$ を $O H = 2 O G$ と読むのも、よくあるとり違えです。 $O H$ は $O G$ と $G H$ をつないだ長さなので $3$ 倍になる。

外心の「3 頂点まで等距離」という性質を、2 乗の形で 1 度使う。それだけで垂心の位置も、3 点が並ぶことも決まります。

外心 $O$ を始点にとると、垂心は $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ で求まります。垂線を 2 本引いて交点を計算する作業が、足し算 1 回に置きかわる。証明で使うのは $|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|$ という 1 つの性質で、$(\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{c}-\vec{b})=|\vec{c}|^2-|\vec{b}|^2=0$ という和と差の積で片づきます。重心は $\dfrac{\vec{h}}{3}$ にあたるため、外心と重心と垂心が一直線に並び $OG:GH=1:2$。直角三角形と正三角形での見え方まで。