四面体の重心と位置ベクトル：中線が 3 対 1 に分かれる理由

四面体 $A B C D$ の重心は $\frac{a + b + c + d}{4}$ です。三角形で 3 つを足して $3$ で割ったところが、 $4$ になった形。

頂点と向かい合う面の重心を結ぶ線分を中線といい、重心はこれを $3 : 1$ に分けます。三角形の $2 : 1$ に対応する数。

分点の公式は平面と同じ

$A$ 、 $B$ の位置ベクトルを $a$ 、 $b$ とします。線分 $A B$ を $m : n$ に内分する点は次の形です。

$\frac{n a + m b}{m + n}$

平面のときとまったく同じ式。成分が 3 つになっても、 $z$ の行が 1 つ増える形です。

中点は $m = n$ の場合で $\frac{a + b}{2}$ 。外分点も符号を変えれば通ります。

例：辺の中点と内分点

$A (0, 0, 0)$ 、 $B (4, 0, 0)$ 、 $C (0, 4, 0)$ 、 $D (0, 0, 4)$ の四面体で考える。

辺 $A B$ の中点は $(2, 0, 0)$ 、辺 $C D$ の中点は $(0, 2, 2)$ です。

辺 $B C$ を $1 : 3$ に内分する点は $\frac{3 ( 4 , 0 , 0 ) + 1 ( 0 , 4 , 0 )}{4} = (3, 1, 0)$ 。重みが比の逆になるところも平面と同じです。

四面体の重心

4 つの頂点の位置ベクトルを平均したものが重心になります。

$g = \frac{a + b + c + d}{4}$

三角形では 3 つを足して $3$ で割りました。頂点が 1 つ増えたぶん、分母が $4$ になる。

移項すると $G A + GB + GC + G D = 0$ です。重心から 4 頂点へ向かうベクトルの和が消える、という形でも書けます。

例：重心を座標で求める

さきほどの四面体では $\frac{( 0 , 0 , 0 ) + ( 4 , 0 , 0 ) + ( 0 , 4 , 0 ) + ( 0 , 0 , 4 )}{4} = (1, 1, 1)$ 。

成分ごとに平均をとります。 $x$ は $\frac{0 + 4 + 0 + 0}{4} = 1$ で、 $y$ と $z$ も同じ計算になる。

例：中線は 3 対 1 に分かれる

頂点 $A$ と、向かい合う面 $B C D$ の重心を結ぶ線分を中線といいます。

面 $B C D$ の重心は $g_{1} = \frac{b + c + d}{3}$ です。座標では $(\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3})$ 。

重心の式を書き直すと $g = \frac{a + 3 g _{1}}{4}$ 。これは線分 $A G_{1}$ を $3 : 1$ に内分する点です。

$A G = (1, 1, 1)$ 、 $G G_{1} = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ で、たしかに $3$ 倍になっています。

4 本の中線がすべて $G$ を通る。三角形で 3 本の中線が重心を通ったのと同じ形です。

例：向かい合う辺の中点を結ぶ

辺 $A B$ の中点 $M$ と、向かい合う辺 $C D$ の中点 $N$ を結びます。

$O M = \frac{a + b}{2}$ 、 $O N = \frac{c + d}{2}$ です。 $M N$ の中点を計算します。

$\frac{1}{2} (\frac{a + b}{2} + \frac{c + d}{2}) = \frac{a + b + c + d}{4}$

重心そのものになりました。座標でも $M (2, 0, 0)$ 、 $N (0, 2, 2)$ の中点は $(1, 1, 1)$ です。

向かい合う辺の組は 3 通りあるので、この線分も 3 本。3 本とも重心で二等分されます。

例：和が 0 になる形で使う

$G A + GB + GC + G D = 0$ を使うと、証明が短くなる。

たとえば $G A + GB = - (GC + G D)$ です。左辺は $2 GM$ 、右辺は $- 2 GN$ 。

$GM = - GN$ なので、 $G$ は $M N$ の中点。さきほどの計算が、この 1 行で終わります。

例：面の重心をつなぐ

面 $B C D$ の重心 $G_{1}$ と、面 $A C D$ の重心 $G_{2}$ を考えます。

$g_{1} = \frac{b + c + d}{3}$ 、 $g_{2} = \frac{a + c + d}{3}$ です。差をとります。

$G_{1} G_{2} = \frac{a - b}{3} = \frac{1}{3} B A$

$B A$ に平行で、長さが $\frac{1}{3}$ になりました。共通する $c$ と $d$ が消えるため、残りだけを見れば足ります。

例：重心になる係数の条件

$O P = s a + t b + u c + v d$ が重心になるのは、 $s = t = u = v = \frac{1}{4}$ のときです。

係数の和が $1$ で、しかも 4 つとも等しいとき。和が $1$ だけでは、四面体の中の別の点も表せます。

三角形で係数の和が $1$ なら平面上の点だったように、四面体では和が $1$ が空間の点を表す形になる。

三角形

重心は 3 つの平均。中線を $2 : 1$ に分ける

四面体

重心は 4 つの平均。中線を $3 : 1$ に分ける

四面体 $A B C D$ で、頂点 $A$ と面 $B C D$ の重心 $G_{1}$ を結ぶ線分を、重心 $G$ はどう分けますか。

$1 : 1$
$2 : 1$
$3 : 1$
$1 : 3$

__RESULT__

$g = \frac{a + 3 g _{1}}{4}$ と書けるので、 $A G : G G_{1} = 3 : 1$ です。 $2 : 1$ は三角形の中線での比になります。

まちがえやすいところ

三角形の $2 : 1$ をそのまま持ちこむ形が、いちばん多いとり違えです。四面体では $3 : 1$ で、分母の $4$ に合わせて数が 1 つ上がります。

中線の相手は、向かい合う面の重心です。頂点や辺の中点ではないので、まず面の 3 頂点を平均します。

$G A + GB + GC + G D = 0$ の形を持っていると、中点や比の証明が 1 行で片づく。展開する前に、この形へ寄せられないかを見ます。

四面体 $ABCD$ の重心は $\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}}{4}$ です。三角形で 3 つを足して $3$ で割ったところが $4$ になった形。頂点と向かい合う面の重心を結ぶ中線は、重心が $3:1$ に分けます。三角形の $2:1$ に対応する数。向かい合う辺の中点を結ぶ線分も重心を通り、しかも二等分される。$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$ の形で使えば、この証明は 1 行で終わります。内分点の公式は平面とまったく同じで、$z$ の行が増えるだけ。