直線のベクトル方程式と媒介変数表示：通る点と方向ベクトルで決まる

点 $A(1,2)$ を通り、ベクトル $\vec{d}=(3,1)$ に平行な直線をとります。この直線上の点は $(x,y)=(1+3t,2+t)$ と表せる。

$t=0$ なら $A$ 自身、$t=1$ なら $(4,3)$、$t=-1$ なら $(-2,1)$ です。$t$ を動かすと、点が直線をなぞっていきます。

$t$ を消すと $x-3y+5=0$ になります。通る点と向きの 2 つで、直線が 1 本に決まる。

通る点と向きで直線が決まる

直線上の 1 点 $A$ の位置ベクトルを $\vec{a}$、直線に平行なベクトルを $\vec{d}$ とします。この $\vec{d}$ を方向ベクトルと呼びます。

直線上の点 $P$ の位置ベクトルを $\vec{p}$ とすると、$\overrightarrow{AP}$ は $\vec{d}$ に平行。実数 $t$ を使って $\overrightarrow{AP}=t\vec{d}$ と書けます。

$\overrightarrow{AP}=\vec{p}-\vec{a}$ なので、移項すれば次の形になる。

$$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}$$

これが直線のベクトル方程式です。$t$ を媒介変数といい、$t$ が実数全体を動くと $P$ は直線全体を動きます。

$\vec{d}=\vec{0}$ では向きが決まりません。方向ベクトルには $\vec{0}$ でないものをとる。

成分に分けて媒介変数表示にする

$\vec{a}=(a_1,a_2)$、$\vec{d}=(d_1,d_2)$、$\vec{p}=(x,y)$ と置いて成分で書き直します。

$$\begin{array}{rl}x& =a_1+t{d}_1\\ y& =a_2+t{d}_2\end{array}$$

この 2 つの式を媒介変数表示といいます。$x$ と $y$ が別々の式に分かれるため、あとは $t$ を消すところへ進める。

消し方は決まっていません。$t$ が解きやすいほうの式から $t=\cdots$ の形を作り、もう一方へ代入します。

例：点と方向ベクトルから直線の式へ

点 $A(1,2)$、$\vec{d}=(3,1)$ の場合を計算する。

$$\begin{array}{rl}x& =1+3t\\ y& =2+t\end{array}$$

下の式から $t=y-2$。これを上の式に入れると $x=1+3(y-2)$ になります。

展開して $x=3y-5$、つまり $x-3y+5=0$。傾き $\frac{1}{3}$、$y$ 切片 $\frac{5}{3}$ の直線です。

例：方向ベクトルの成分に 0 があるとき

点 $A(2,-1)$、$\vec{d}=(0,1)$ の場合は $x=2$、$y=-1+t$ となります。

$x$ の式に $t$ が現れません。消すまでもなく $x=2$ が答えになる。

これは $y$ 軸に平行な直線です。傾きでは書けない直線も、ベクトルなら同じ形で扱えます。

2 点を通る直線

異なる 2 点 $A$、$B$ を通る直線では、$\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$ がそのまま方向ベクトルになる。

$$\vec{p}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})$$

方向ベクトルを別に用意しなくてよいぶん、2 点が与えられた問題ではこちらが速い。

例：2 点を通る直線の媒介変数表示

$A(1,3)$、$B(4,-1)$ とします。$\overrightarrow{AB}=(3,-4)$。

$$\begin{array}{rl}x& =1+3t\\ y& =3-4t\end{array}$$

上の式から $t=\frac{x-1}{3}$。下に代入すると $y=3-\frac{4(x-1)}{3}$ になります。

両辺を 3 倍して $3y=9-4(x-1)$、整理すれば $4x+3y-13=0$。検算に $B(4,-1)$ を入れると $16-3-13=0$ で合いました。

係数の和が 1 の形

$\vec{p}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})$ の括弧を外すと、別の形が現れます。

$$\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$$

$1-t$ と $t$ を足すと $1$。$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の係数の和が $1$ になる点は、直線 $AB$ の上にあります。

$s=1-t$ と置けば $\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}$ かつ $s+t=1$。左右がそろって見やすい書き方です。

例：t の値と点の位置

$t$ の値を見れば、点がどこにあるかが決まります。

$t=\frac{1}{3}$ なら $AP:PB=1:2$。係数がそのまま内分の比を表しています。

例：内分点として読む

$A(1,3)$、$B(4,-1)$ で $t=\frac{1}{4}$ とする。

$$\vec{p}=\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}$$

成分で計算すると $\left(\frac{3+4}{4},\frac{9-1}{4}\right)=\left(\frac{7}{4},2\right)$ になります。

これは線分 $AB$ を $1:3$ に内分する点。$t$ の分子と分母が、そのまま比の情報を持っています。

方向ベクトルは 1 通りではない

$\vec{d}$ を何倍しても、表す直線は変わりません。$(3,1)$ でも $(6,2)$ でも $(-3,-1)$ でも同じ直線になる。

通る点の選び方も自由です。直線上のどの点を $\vec{a}$ にとっても、書き上がる直線は同じ。

例：同じ直線を別の形で表す

$x-3y+5=0$ の上には $(1,2)$ も $(4,3)$ もあります。

$(1,2)$ と $\vec{d}=(3,1)$ で書けば $(1+3t,2+t)$、$(4,3)$ と $\vec{d}=(6,2)$ で書けば $(4+6s,3+2s)$ です。

$1+3t=4+6s$ から $t=1+2s$。この対応で 2 つの表示がぴったり重なります。

答えが解答例と違う形になっても、方向ベクトルが定数倍で通る点が同じ直線上にあれば正しい。

例：点が直線上にあるかを調べる

点 $(7,4)$ は $(1+3t,2+t)$ の上にあるでしょうか。

$1+3t=7$ から $t=2$。このとき $y=2+2=4$ で、$y$ 座標も一致します。だから直線上にある。

点 $(7,5)$ なら $t=2$ のとき $y=4$ にしかなりません。$5$ には届かないので直線上にはない。

$x$ と $y$ が同じ $t$ で同時に成り立つかどうかを見ます。片方だけ合っても足りません。

例：2 直線の交点を媒介変数で求める

${\ell }_1$ を $(1+3t,2+t)$、${\ell }_2$ を $(5-s,1+2s)$ とします。

交点では同じ点になるので、$1+3t=5-s$ と $2+t=1+2s$ が同時に成り立ちます。

2 つ目の式から $t=2s-1$。1 つ目に入れると $1+3(2s-1)=5-s$、つまり $6s-2=5-s$。

$7s=7$ から $s=1$、よって $t=1$ です。交点は $(4,3)$ になりました。

媒介変数は直線ごとに別の文字にします。同じ $t$ で書くと、2 点が同時に同じ場所へ来る場合しか拾えません。

例：線分と半直線を表す

$t$ の範囲を制限すると、直線の一部だけをとり出せます。

$0\le t\le 1$ なら線分 $AB$、$t\ge 0$ なら $A$ を端点として $B$ の側へ伸びる半直線になります。

$A(1,3)$、$B(4,-1)$ で $0\le t\le 1$ とすれば、$(1+3t,3-4t)$ が線分 $AB$ を表す。

範囲を書き落とすと直線全体になってしまいます。図形の問題では、この 1 行が答えを分ける。

例：範囲を変えると図形が変わる

点 $P$ が $\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$ で動くとき、$t$ が実数全体なら軌跡は直線 $AB$ です。

$\vec{p}=(1-t^2)\vec{a}+t^2\vec{b}$ ではどうなるか。$u=t^2$ と置くと $u\ge 0$ になります。

係数の和は $1$ のままなので直線 $AB$ の上にありますが、$u<0$ にあたる部分には行けません。$A$ から $B$ の向きへ伸びる半直線が答えになる。

係数の和が $1$ かどうかで直線に乗るかが決まり、係数の動く範囲で乗る部分が決まります。

問題文が「点 $P$ が動くとき」で始まっていれば媒介変数、「直線の方程式を求めよ」なら $x$ と $y$ の式。求められている形に合わせて選びます。

まちがえやすいところ

方向ベクトルの成分を、そのまま $x$ と $y$ の係数に置いてしまう形が多い。$(1,3)$ を係数にした $x+3y+1=0$ は、その向きに垂直な直線を表します。

2 直線の交点では、媒介変数を直線ごとに別の文字にとります。同じ $t$ にすると、たまたま同時刻に同じ場所へ来る場合しか拾えません。

線分を答える問題では、範囲を書くところまでが答えです。$0\le t\le 1$ の 1 行を落とすと、直線全体を答えたことになる。

通る点と向きが分かれば式が書けます。この 2 つを問題文から拾うところから始まる。